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1 से एन तक पूरे नंबर कैसे जोड़ें

पूर्णांक का समूह संख्याओं से कोई आंशिक या दशमलव भाग नहीं होता है। यदि कोई गणित समस्या सभी पूर्णांकों को 1 से एक निश्चित मान के लिए जोड़ती है एन

, आपको एक-एक करके जोड़ने की आवश्यकता नहीं है: यह योग करने का सबसे तेज और आसान तरीका सूत्र का उपयोग कर रहा है (एन× (एन + 1)) / 2, जहाँ एन श्रृंखला के सर्वोच्च मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है

चरणों

चित्र 1 से एन चरण 1 के लिए सम इंटीजर्स का शीर्षक
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की श्रृंखला में सबसे बड़ी पूर्णांक कॉल करें एन. 1 से किसी भी संख्या में क्षति के पूर्णांक को जोड़ना शुरू करने के लिए, इसके योग की सबसे बड़ी संख्या निर्धारित करें एन. चूंकि यह पूर्णांक का एक योग है, का मान एन दशमलव या आंशिक नहीं हो सकता एन भी एक नकारात्मक मान नहीं मान सकते हैं
  • मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि आप 1 से 100 तक पूर्णांकों को जोड़ना चाहते हैं: इस मामले में, हम 100 का उपयोग मूल्य के रूप में करेंगे एन, चूंकि यह श्रृंखला की अंतिम संख्या है, जो कि सबसे बड़ी संख्या है जिसे जोड़ा जाएगा।
  • छवि 1 से एन चरण 2 से सम इंटिजर शीर्षक
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    गुणा करना एन द्वारा एन + 1 और फिर परिणाम 2 से विभाजित करें। सेटिंग के बाद एन, इस मूल्य को सूत्र में लागू करें एन× (एन+1) / 2- यह सूत्र सभी पूर्णांकों की संख्या 1 से एक निर्धारित संख्या तक निर्धारित करने की अनुमति देता है एन.
    • उदाहरण के तौर पर, बस 100 को प्रतिस्थापित करें एन समीकरण का इस प्रकार, प्रतिस्थापन के बाद, समीकरण एन× (एन+1) / 2 100 × (100 + 1) / 2 बन जाएंगे
  • छवि 1 से एन चरण 3 से सम इंटिजर शीर्षक
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    संचालन को हल करें समीकरण के संचालन को सुलझाने के बाद प्राप्त मूल्य 1 और मान N के बीच के सभी पूर्णांकों का योग दर्शाता है।
    • उदाहरण का समाधान करना, हमारे पास होगा:
      • 100 × (100 + 1) / 2 =
      • 100 × (101) / 2 =
      • 10100/2 =
      • 5050. सभी पूर्णांकों का योग 1 से 100 बराबर है 5050.
  • चित्र 1 से एन चरण 4 में सम एंटर्स का शीर्षक है
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    समझ कैसे समीकरण एन× (एन+1) / 2 व्युत्पन्न है। के उदाहरण फिर से लेते हैं, मानसिक रूप से अलग श्रृंखला 1 + 2 3 + 4 + ... + 99 + 100 पहले दो नंबर 50 के माध्यम से 1 और दूसरे युक्त समूहों में चलो संख्या शामिल 51 से 100 ध्यान दें कि , दूसरे समूह (100) की अंतिम संख्या के पहले समूह (1) को जोड़कर, हम 101 प्राप्त करते हैं। वही होता है जब हम 2 के साथ 99, 3 को 98, 4 से 97, आदि जोड़ते हैं। इस तर्क निम्नलिखित संबद्ध करके उससे संबंधित दूसरे समूह 50 जोड़े के साथ पहले समूह के एक नंबर संख्या प्राप्त है कि जब इसलिए 101. में परिणाम कहा, जब 101 से गुणा हम 50 5050, या पूर्णांकों का योग प्राप्त 1 से 100. ध्यान दें कि 50 100 का आधा (श्रृंखला में अंतिम संख्या) है और 101 101 और 1 (राशि सीमा) की राशि है। यह किसी भी अन्य सकारात्मक पूर्णांक मूल्य की राशि के लिए सही है: इसके घटकों को दो समूहों में बांटा जा सकता है, और फिर उन समूहों की संख्याओं को जोड़ा जा सकता है ताकि सभी जोड़ों का योग एक जैसा हो। एक अन्य महत्वपूर्ण विवरण: अगर श्रृंखला में अंतिम संख्या अजीब है, तो एक संख्या इन जोड़ों के बाहर रहती है - हालांकि, यह अंतिम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
    • सामान्य शब्दों में, हम यह कह सकते हैं कि किसी भी पूर्णांक मूल्य के लिए एन, संख्याओं का योग 1 से एन बराबर है (एन/ 2) × (एन+1) - इस समीकरण को सरल बनाने में, हमारे पास है एन× (एन+1) / 2



    • दो अंकों के बीच पूर्णांक का योग निर्धारित करना

    चित्र 1 से एन चरण 5 में सम एंटर्स का शीर्षक है
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    परिभाषित करें कि क्या राशि समावेशी है या अनन्य है अधिकतर प्रश्नों के लिए, आपको 1 और एक पूर्णांक के बीच की संख्याओं को जोड़ने से ज्यादा जानना होगा: आपको पता होना चाहिए कि दो पूर्णांक के बीच की संख्याओं का योग कैसे निर्धारित किया जाए एन1 और एन2 किसी भी जगह एन1 से अधिक है एन2 और दोनों 1 से अधिक हैं। इस राशि का निर्धारण करने के लिए प्रक्रिया अपेक्षाकृत सरल है, लेकिन इसे निष्पादित करने से पहले सीखने से पहले यह परिभाषित करना जरूरी है कि क्या यह योग समावेशी या अनन्य होगा या नहीं, चाहे वह पूर्णांक शामिल हो एन1 और एन2 या यदि योग में उनके बीच केवल पूर्णांक होते हैं
  • चित्र 1 से एन चरण 6 के लिए सम एंटर्स का शीर्षक है
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    दो संख्याओं के बीच पूर्णांकों की संख्या निर्धारित करने के लिए एन1 और एन2 1 और उनमें से प्रत्येक के बीच पूर्णांकों को अलग से जोड़ता है और फिर घटाना। इस प्रकार के योग को चलाने के लिए सामान्य नियम, 1 और निम्नतम मूल्य के बीच के पूर्णांक के योग को घटाना है एन 1 के बीच और सबसे अधिक मूल्य के बीच पूर्णांकों का योग एन. हालांकि, जैसा कि पिछले चरण में कहा गया था, यह परिभाषित करना महत्वपूर्ण है कि क्या सम्मिलन समावेशी या अनन्य होगा: एक समावेशी राशि में आपको मूल्य के एक इकाई को घटा देना चाहिए एन2 (न्यूनतम मूल्य का एन) समीकरण के लिए आवेदन करने से पहले - पहले से ही एक विशेष राशि में आप मूल्य के एक इकाई को घटाना चाहिए एन1 (का सर्वोच्च मूल्य एन) इसे समीकरण के लिए आवेदन करने से पहले
    • मान लीजिए कि प्रश्न आपको पूछता है कि आप इनके बीच एक समेकित राशि का योग करें एन1 = 100 और एन2 = 75. दूसरे शब्दों में, आपको राशि 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100 का नतीजा मिलना चाहिए। इसके लिए, आपको पहले 1 से पूर्णांकों को जोड़ना होगा एन1 और उसके बाद उस परिणाम से घटाना, जो 1 से लेकर 1 तक पूर्णांकों का योग है एन2 - 1 (क्योंकि यह एक समावेशी राशि है, आपको मूल्य के एक इकाई को घटाना होगा एन2)। संकल्प नोटिस:
      • (एन1× (एन1 + 1)) - 2 - ((एन2-1) × ((एन2-1) + 1)) / 2 =
      • (100 × (100 + 1)) / 2 - (74 × (74 + 1)) / 2 =
      • 5050 - (74 × (75)) / 2 =
      • 5050 - 5550/2 =
      • 5050-2775 = 2275. 75 और 100 के बीच पूर्णांकों का समावेशी योग बराबर है 2275.
    • अब, चलो इस राशि को विशेष रूप से करते हैं - समीकरण एक समान रहता है, लेकिन इस बार आपको मूल्य के एक इकाई को घटाना होगा एन1:
      • ((एन1-1) × ((एन1-1) + 1)) / 2 - (एन2× (एन2 + 1)) / 2 =
      • (99 × (99 + 1)) / 2 - (75 × (75 + 1)) / 2 =
      • (99 × (100)) / 2 - (75 × (76)) / 2 =
      • 9900/2 - 5700/2 =
      • 4950-2800 = 2100. 75 और 100 के बीच पूर्णांकों की एकमात्र राशि के बराबर है 2100.
  • चित्र 1 से एन चरण 7 में सम एंटर्स का नाम दिया गया है
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    समझे कि प्रक्रिया कैसे काम करती है 1 और 100 के बीच 1 + 2 + 3 के रूप में पूर्णांकों की राशि के बारे में सोचो ... + 98 + 99 + 100 और 1 से 75 तक पूर्णांकों की राशि 1 + 2 + 3 के रूप में ... + 73 + 74 + 75 । योग 75 + 76 + 77 + ... + 99 100 1 से 75 और 1 के लिए 100 की राशि पाने के निर्धारित 75 और 100 के बीच का मतलब है पूर्णांकों का योग संख्या 75 के समान हैं, और इस बिंदु सिर्फ 1 से 75 की राशि और की 1 और 100 के लिए जारी राशि से, सहित पूर्णांकों 75 + 76 + 77 + 99 + ... 100- इसलिए, 1 से 75 परिणाम के लिए राशि घटाना 1 से 100 की राशि का हमें अलग करने और 75 से 100 की राशि का परिणाम निर्धारित करने की अनुमति मिलती है।
    • यदि राशि समावेशी है, तो यह सुनिश्चित करने के लिए 1 से 75 की राशि के बजाय 1 से 75 की राशि का उपयोग करना आवश्यक है ताकि सुनिश्चित किया जा सके कि अंतिम संख्या में संख्या 75 शामिल है।
    • यदि राशि अनन्य है, तो यह सुनिश्चित करने के लिए 1 से 99 की राशि के बजाय 1 से 100 की राशि का उपयोग करना आवश्यक है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि नंबर 100 अंतिम समावेशन में शामिल नहीं है। इसलिए, 1 से 99 की राशि से इस परिणाम को घटाकर हम एक विशेष राशि में 1 से 75 की राशि का उपयोग करना चाहिए, हम अंतिम परिणाम के नंबर 75 को छोड़कर भी कर रहे हैं।

    • युक्तियाँ

    • क्योंकि यह पूर्णांक का योग है, परिणाम हमेशा एक पूर्णांक होगा सूत्र में ध्यान दें कि, मूल्य की परवाह किए बिना एन, घटकों में से एक एन या N + 1 भी हो सकता है और इसलिए संपूर्ण 2 से विभाज्य होगा।
    • का योग को बी = (1 का योग बी) - (1 का योग) -1), जहां बी से अधिक है .
    • संक्षेप में: 1 अप का योग एन = एन× (एन+1) / 2

    चेतावनी

    • हालांकि नकारात्मक संख्या वाले सामान्यीकरण करना मुश्किल नहीं है, यह विधि केवल सकारात्मक पूर्णांक तक ही सीमित है एन, जहाँ एन 1 से बड़ा या बराबर है
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