एपोलोनियस परिधि को कैसे आकर्षित करें

एक बड़ा वृत्त खींचकर शुरू करें आपको पूरी तरह गोल बड़े वृत्त को चित्रित करके शुरू करना चाहिए। बड़ा सर्कल, इसकी अपोलोनियस परिधि की जटिलता जितनी अधिक होती है, इसलिए पेपर की चादर के रूप में बड़े पैमाने पर एक वृत्त बनाने की कोशिश करें या ड्राइंग प्रोग्राम स्क्रीन के रूप में बड़े।

मूल चक्र के अंदर एक छोटा चक्र बनाएं और यह एक बिंदु पर स्पर्शरेखा है। अगले चरण में मूल के मुकाबले कम से कम एक छोटा सा चक्र है, लेकिन फिर भी बड़े आकार के साथ। दूसरी सर्कल का सटीक आकार आपकी पसंद के लिए है- कोई सही आकार नहीं है हालांकि, हमारे उद्देश्य के लिए, हम एक दूसरे सर्कल को आकर्षित करेंगे जो बड़े वृत्त के मध्य में स्थित है - दूसरे शब्दों में, हम दूसरे सर्कल को आकर्षित करेंगे ताकि इसका केंद्र बड़े वृत्त के त्रिज्या के मध्य में हो।

• याद रखें कि, अपोलोनियस के परिधि पर, सभी मंडल एक दूसरे से स्पर्शरेखा होने चाहिए। यदि आप अपनी सर्कल को हाथ से खींचने के लिए कम्पास का उपयोग कर रहे हैं, तो बड़े चक्र के त्रिज्या के मध्य बिंदु पर कम्पास के सूखे बिंदु को रखें और ग्रेफाइट के साथ बिंदु को समायोजित करें जिससे कि यह सिर्फ बड़े चक्र की रेखा को छू जाए, ताकि केवल छोटे आंतरिक सर्कल को आकर्षित कर सकें ।

पिछले चरण के विपरीत दिशा में एक समान चक्र बनाएं। अब चलो पहले छोटे वृत्त के बगल में एक और चक्र खींचें यह नया चक्र बड़े चक्र और छोटे आंतरिक सर्कल दोनों के स्पर्शरेखा होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि दो आंतरिक सर्कलों को बड़े चक्र के केंद्र को छूना चाहिए, अर्थात, इसका व्यास का मध्यबिंदु

अगले मंडलों के आकार की गणना करने के लिए डेकार्ट प्रमेय को लागू करें आइए एक पल के लिए ड्राइंग को रोकें। अब जब हमारे पास अपोलोनियस के परिधि पर तीन सर्किल हैं, तो हम डेकोरेट्स प्रमेय का उपयोग अगले सर्कल के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए कर सकते हैं जिसे हम आकर्षित करना चाहते हैं। याद रखें कि डेसकार्ट्स के प्रमेय का सूत्र है d = a + b + c ± 2 √ (एक × बी + बी × सी + सी × एक), जहां चर , ख और ग तीन स्पर्शरेखा मंडलियों के वक्रता का प्रतिनिधित्व करते हैं और घ अन्य तीनों के लिए स्पर्शरेखा चक्र के वक्रता का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, अगले चक्र के त्रिज्या के मूल्य को प्राप्त करने के लिए, हम पहले प्रत्येक सर्किल की वक्रता देखेंगे जो अगले सर्कल के वक्रता को खोजने के लिए तैयार किए गए हैं और आखिरकार उस मान को इसकी त्रिज्या में परिवर्तित करते हैं।

• मान लीजिए कि बड़ा वृत्त का त्रिज्या बराबर है 1. चूंकि दूसरे मंडलियां इसके अंदर हैं, हम इसकी वक्रता की गणना करेंगे आंतरिक (और बाहरी वक्रता नहीं), और इसलिए हम जानते हैं कि इसकी वक्रता का मूल्य नकारात्मक होगा - 1 / आर = -1/1 = -1 बड़ा वृत्त का वक्रता बराबर है -1.
• दो छोटे आंतरिक हलकों का त्रिज्या बड़ा वृत्त के आधे त्रिज्या के बराबर है, या, दूसरे शब्दों में, 1/2। चूंकि ये सर्कल एक-दूसरे और बड़े चक्र को स्पर्श करते हैं, हम वक्रता की गणना करेंगे बाहरी, इसलिए वक्रता का मूल्य सकारात्मक होगा 1 / (1/2) = 2. दो छोटे हलकों की वक्रता के बराबर है 2.
• अब हम जानते हैं कि = -1, ख = 2 और ग = 2. इन मूल्यों को डेसकार्टेस प्रमेय में बदलकर, हमारे पास होगा:
  • d = a + b + c ± 2 √ (एक × बी + बी × सी + सी × एक)
  • डी = -1 + 2 + 2 ± 2 √ (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1)
  • डी = -1 + 2 + 2 ± 2 √ (-2 + 4 + -2)
  • डी = -1 + 2 + 2 ± 0
  • डी = -1 + 2 + 2
  • d = 3. अगले चक्र की वक्रता के बराबर है 3. 3 = 1 / आर के रूप में, अगले चक्र उपायों के त्रिज्या 1/3.

मंडलियों का अगला सेट खींचना अगले दो सर्किलों को आकर्षित करने के लिए पिछले चरण में निर्धारित त्रिज्या मूल्य का उपयोग करें याद रखें कि वे curvatures के हलकों उलझाना चाहिए , ख और ग डेसकार्ट्स प्रमेय में इस्तेमाल किया दूसरे शब्दों में, वे बड़े चक्र और दोनों आंतरिक हलकों के स्पर्शरेखा होने चाहिए। इन दो नई सर्किलों के लिए अन्य सभी मंडलियों को छूने के लिए, आपको उन खाली जगहों में आकर्षित करना होगा जो बड़े वृत्त के ऊपर और नीचे थे।

• यह मत भूलो कि इन हलकों का त्रिज्या 1/3 के बराबर होना चाहिए। बड़े चक्र की रेखा से 1/3 उपाय करें और फिर नया वृत्त खींचें। यह आपके चारों ओर तीन मंडलियों के स्पर्शरेखा होना चाहिए।

नई मंडलियों को आकर्षित करने के लिए इस विधि को लागू करना जारी रखें क्योंकि वे भग्न हैं, अपोलोनियस की परिधि में अनंत जटिलता है इसका मतलब है कि आप जहां भी चाहें वहां छोटे और छोटे मंडल जोड़ सकते हैं। आप केवल अपने उपकरणों की सटीकता (या, यदि आप कंप्यूटर का उपयोग कर रहे हैं, आपके ड्राइंग प्रोग्राम की क्षमता के साथ काम करने के लिए सीमित होंगे ज़ूम वृद्धि हुई)। प्रत्येक चक्र, चाहे कितना भी छोटा हो, अन्य तीनों के स्पर्शरेखा होना चाहिए अपने अपोलोनियस परिधि के अगले चक्र को आकर्षित करने के लिए, तीन सर्किलों के curvatures के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें जो कि नया डेसकार्ट्स प्रमेय में स्पर्शरेखा होगा। फिर परिणाम का उपयोग करें (जो अगले सर्कल के त्रिज्या का मूल्य होगा) नई सर्कल को सही ढंग से आकर्षित करने के लिए

• ध्यान दें कि अपोलोनियस सर्कल जो हमने चुना है वह सममित है, इसलिए एक सर्कल का त्रिज्या विपरीत दिशा में संबंधित सर्कल के बराबर होगा। हालांकि, यह ध्यान रखना ज़रूरी है कि अपोलोनियस के हर परिधि सममित नहीं होगा।
• आइए एक और उदाहरण देखें। मान लीजिए कि, सर्कल के अंतिम सेट को ड्राइंग करने के बाद, हम उन मंडलियों को आकर्षित करेंगे जो तीसरे सेट, दूसरा सेट और बड़े बाहरी सर्कल को स्पर्शरेखा करते हैं। इन मंडलियों के क्रमवृत्त, क्रमशः, 3, 2 और -1 हैं। इन मूल्यों को डेकार्टेस के प्रमेय में बदलकर, जो कि, = -1, ख = 2 और ग = 3, हमारे पास होगा:
  • d = a + b + c ± 2 √ (एक × बी + बी × सी + सी × एक)
  • डी = -1 + 2 + 3 ± 2 √ (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1)
  • डी = -1 + 2 + 3 ± 2 √ (-2 + 6 + -3)
  • डी = -1 + 2 + 3 ± 2 √ (1)
  • डी = -1 + 2 + 3 ± 2
  • डी = 2, 6. हम दो परिणाम प्राप्त करते हैं। हालांकि, चूंकि हम जानते हैं कि नया सर्कल उस सर्कल से छोटा होगा जो इसे उलझाना है, केवल मूल्य वक्रता 6 (और इसलिए मापने त्रिज्या 1/6) वैध होगा।
  • हमारा दूसरा जवाब, 2, दूसरे और तीसरे सेट के मंडली के दूसरी तरफ काल्पनिक चक्र को संदर्भित करता है। यह काल्पनिक चक्र यह है इन अन्य मंडलियों के स्पर्शरेखा और बड़े बाहरी सर्कल के लिए, लेकिन यह पहले से तैयार की गई मंडल को भी छेद लेता है, इसलिए हमें इसे अवहेलना करना चाहिए