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संबंध पुनरावृत्ति का समाधान

कुछ गणितीय अनुक्रमों के लिए एक सूत्र का पता लगाने की प्रक्रिया के दौरान, एक साधारण मध्यवर्ती कदम शब्द n को खोजना है

(nth), न के एक समारोह के रूप में, लेकिन अनुक्रम के पिछले घटकों के संदर्भ में। उदाहरण के लिए, यह शब्द n के लिए एक बंद फार्म फ़ंक्शन के लिए आदर्श होगा के अनुक्रम का फाइबोनैचि लेकिन कभी-कभी, आपके पास पुनरावृत्ति संबंध है इस रिश्ते में, फिबोनैसी अनुक्रम के प्रत्येक शब्द दो पिछली शर्तों का योग है। इस आलेख में, आप पुनरावृत्ति से एक बंद सूत्र को कम करने के लिए कई तरीके देखेंगे

चरणों

विधि 1
अंकगणित

चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 1
1
5, 8, 11, 14, 17, 20 जैसे अंकगणितीय अनुक्रमों पर विचार करें।...
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 2 का शीर्षक
    2
    चूंकि प्रत्येक शब्द पिछले एक से अधिक तीन इकाइयां हैं, इसलिए यह दिखाया गया है कि पुनरावृत्ति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 3
    3
    फॉर्म की कोई पुनरावृत्ति एकn = एकn-1 + डी एक अंकगणितीय अनुक्रम है
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध समाधान 4 चरण
    4
    एक अंकगणितीय अनुक्रम के लिए सूत्र का बंद रूप लिखें, संभवतः अज्ञात के साथ, जैसा कि दिखाया गया है।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध समाधान 5 चरण
    5
    अनुक्रम की शुरुआत के आधार पर अज्ञात को हल करें। इस मामले में, 5 के रूप में शब्द 0 था, सूत्र हैn = 5 + 3 एन अगर, इसके बजाय, 5 पहले शब्द थे, तो आपके पास होगाn = 2 + 3 एन

    • विधि 2
    ज्यामितिक

    चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 6
    1
    अनुक्रम 3, 6, 12, 24, 48 पर विचार करें।.. .
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 7
    2
    प्रत्येक शब्द के रूप में पिछले शब्द के रूप में दो बार लंबे समय के रूप में, यह एक पुनरावर्ती में व्यक्त किया जा सकता है जैसा कि दिखाया गया है।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 8
    3
    फॉर्म की कोई पुनरावृत्ति एकn आर = एक *n-1 एक ज्यामितीय अनुक्रम है
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध समाधान 9
    4
    एक ज्यामितीय अनुक्रम के लिए सूत्र का बंद रूप लिखें, संभवतः अज्ञात के साथ, जैसा कि दिखाया गया है।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध समाधान 10
    5
    अनुक्रम की शुरुआत के आधार पर अज्ञात को हल करें। इस मामले में, 3 के बाद से शब्द 0 था, सूत्र हैn = 3 * 2n. यदि, इसके बजाय, 3 पहले पद था, तो आपको प्राप्त होगाn = 3 * 2(एन -1).

    • विधि 3
    बहुपद

    चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 11
    1
    अनुक्रम 5, 0, -8, -17, -25, -30 पर विचार करें।.. दिखाया गया पुनरावृत्ति द्वारा दिया गया
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध समाधान 12
    2
    किसी भी पुनरावृत्ति दिखाया गया है, जहां पी (एन) एन में किसी भी बहुपद है, एक डिग्री पी की तुलना में अधिक के रूप सूत्र बहुपद बंद कर दिया है।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 13
    3
    आवश्यक डिग्री के बहुपद का सामान्य रूप लिखें इस उदाहरण में, पी द्विघात-लोगो है, हमें अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक घन की आवश्यकता होगीn.
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 14
    4
    चूंकि सामान्य क्यूबिक में चार गुप्त गुणांक होते हैं, इसलिए परिणामी सिस्टम को हल करने के लिए चार अनुक्रम शब्द आवश्यक हैं। कोई भी चार शब्द इस्तेमाल किया जा सकता है इस उदाहरण में, 0, 1, 2 और 3 का उपयोग करते हैं। 1-शब्द खोजने के लिए रिवर्स रिकर्सन चलाएं हल करने के लिए एक आसान प्रणाली दे सकता है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध समाधान 15 चरण
    5
    अज्ञात डिग्री (पी) = 2 में समीकरणों (पी) +2 के परिणामस्वरूप प्रणाली को हल करें।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 16 को शीर्षक
    6



    अगर गया था शर्तों आप गुणांक हल करने के लिए प्रयोग किया जाता है में से एक हैं, तो आप मुक्त करने के लिए बहुपद की लगातार अवधि मिलता है और दिखाया गया है, समीकरण (पी) +1 डिग्री अज्ञात (पी) +1 डिग्री करने के लिए प्रणाली को कम कर सकते हैं।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध समाधान 17
    7
    सी खोजने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें3 = 1/3, सी2 = -5 / 2, सी1 = -17 / 6, और सी = 5. के लिए बंद सूत्र प्रदर्शित करेंn ज्ञात गुणांक के साथ एक बहुपद के रूप में

    • विधि 4
    रैखिक

    चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 18
    1
    परिचय में फिबोनैचि अनुक्रम को हल करने में यह पहली विधि है, लेकिन विधि किसी भी पुनरावृत्ति को हल करती है जहां शब्द n उपरोक्त शब्द कश्मीर का एक रैखिक संयोजन है तो आइए इसे अलग-अलग उदाहरण दिखाएं, जिसका पहला शब्द 1, 4, 13, 157, दिखाया गया है ....
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 1 9 शीर्षक
    2
    पुनरावृत्ति के बहुपद विशेषता को लिखें यह प्रत्येक जगह के द्वारा पाया जाता हैn पुनरावृत्ति में एक्स द्वाराn और एक्स से विभाजित(एन ट) डिग्री कश्मीर और एक गैर-स्थिरांक निरंतर अवधि के बहुपद को छोड़कर।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 20 के शीर्षक
    3
    बहुपद विशेषता को हल करें इस मामले में, इस सुविधा में 2 ग्रेड है, इसलिए हम अपनी जड़ों को खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 20 के शीर्षक
    चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 20 के शीर्षक
    4
    बहुपद विशेषता को हल करें इस मामले में, इस सुविधा में 2 ग्रेड है, इसलिए हम अपनी जड़ों को खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।अपनी जड़ों को खोजने के लिए द्विघात सूत्र।
  • पिक्चर शीर्षक सोल रिकरेंस रिलेशंस चरण 21
    5
    दिखाए गए फॉर्म की कोई भी अभिव्यक्ति पुनरावृत्ति को संतुष्ट करती है सीमैं किसी भी स्थिरांक हैं, और प्रतिपादकों के आधार ऊपर पाया सुविधाओं के लिए जड़ हैं यह प्रेरण द्वारा सत्यापित किया जा सकता है।
    • यदि सुविधा में एक बहुत अधिक जड़ है, तो इस चरण में मामूली संशोधन होगा। यदि आर एक बहुरूपता रूट मी है, तो उपयोग करें (c1आरn + ग2एन.आर.n + ग3n2आरn + ... + गमीटरnएम-1आरn) के बजाय बस (सी1आरn)। उदाहरण के लिए, 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240, से शुरू होने वाला अनुक्रम ... पुनरावृत्त संबंध को पूरा करता हैn = 6 एn-1 - 12an-2 + 8aएन -3. बहुपद विशेषता का ट्रिपल रूट 2 और फार्मूला का बंद रूप है an = 5 * 2n - 7 * n * 2n + 2 एन2* 2n.
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध समाधान 22
    6
    सी खोजेंमैं निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थितियों को संतुष्ट करता है बस बहुपद के उदाहरण की तरह यह प्रारंभिक शब्दों से समीकरणों की एक रेखीय प्रणाली बनाकर किया जा सकता है। जैसा कि इस उदाहरण के दो अज्ञात हैं, दो पदों के लिए आवश्यक है। किसी भी दो शब्दों का उपयोग किया जा सकता है, इसलिए 0 चुनें और 11 तर्कसंगत संख्या को एक उच्च शक्ति तक बढ़ाने से बचने के लिए
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 23 के शीर्षक
    7
    समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें
  • पिक्चर शीर्षक सोल रिकरेंस रिलेशंस स्टेफ 24
    8
    समाधान के रूप में सामान्य सूत्र के भीतर परिणामी स्थिरांक को कनेक्ट करें

    • विधि 5
    निर्माण कार्य

    चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 25
    1
    अनुक्रम 2, 5, 14, 41, 122 पर विचार करें.. दिखाया गया पुनरावृत्ति द्वारा दिया गया इसे ऊपर दिए गए तरीकों में से किसी भी द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन प्रयुक्त कार्यों का उपयोग करके एक सूत्र मिल सकता है।
  • पिक्चर शीर्षक सोल रिकरेंस रिलेशंस चरण 26
    2
    अनुक्रम के एक जनरेटेड समारोह को लिखें। यह कार्य केवल औपचारिक ताकत की एक श्रृंखला है जहां x का गुणांकn और शब्द n अनुक्रम का
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 27
    3
    प्रदर्शित किए गए कार्यों के रूप में तैयार किए गए कार्यों को संभाल लें यहां लक्ष्य से उत्पन्न फ़ंक्शन ए (एक्स) को हल करने के लिए एक समीकरण प्राप्त करना है। प्रारंभिक शब्द निकालें शेष शर्तों के पुनरावृत्ति संबंध को लागू करें राशि को विभाजित करें लगातार शब्दों को निकालें ए (एक्स) की परिभाषा का उपयोग करें एक ज्यामितीय श्रृंखला का योग सूत्र का उपयोग करें।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध समाधान 28
    4
    उत्पन्न फ़ंक्शन ए (एक्स) खोजें।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध समाधान 29
    5
    एक्स के गुणांक का पता लगाएंn ए (एक्स) में ऐसा करने के लिए तरीके का एक (एक्स) बिल्कुल पर निर्भर करती है, लेकिन आंशिक भिन्न, एक ज्यामितीय अनुक्रम के पैदा कार्यों को जानने के साथ संयुक्त की विधि, यहाँ काम करता है दिखाया गया है।
  • चित्र शीर्षक पुनरावृत्ति संबंध चरण 30 के शीर्षक
    6
    सूत्र के लिए लिखेंn एक्स के गुणांक की पहचानn ए (एक्स) में

    • युक्तियाँ

    • प्रेरण एक लोकप्रिय तकनीक है यह आम तौर पर प्रेरण द्वारा साबित करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि एक विशिष्ट सूत्र एक निर्दिष्ट पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है, हालांकि, इसके लिए सूत्र को अग्रिम में मानना ​​आवश्यक है।
    • इनमें से कुछ विधियां बहुत गहन हैं, जिसमें कई गलतियों को एक गलती करने के अवसर हैं। कुछ ज्ञात शब्दों के विरुद्ध सूत्रों को जांचना अच्छा है।
    • "गणित में, फाइबोनैचि अनुक्रम द्वारा दिया जाता है: 1 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
      • फाइबोनैचि सर्पिल: वर्ग टाइल Fibonacci- यहाँ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 और के इस वर्ग के आकार का उपयोग करता है के विपरीत कोनों को जोड़ने तैयार परिपत्र आर्क्स द्वारा बनाई सोने सर्पिल के एक सन्निकटन 34।
      • परिभाषा के अनुसार, फाइबोनैचि अनुक्रम के पहले दो नंबर, 1 और 1, या 0 और 1 हैं अनुक्रम के लिए चुना प्रारंभिक बिंदु पर निर्भर करता है। प्रत्येक बाद की संख्या दो पूर्ववर्तियों की एक राशि है।
      • गणितीय शब्दों में, शब्द एफn फिबोनैचि संख्याओं की पुनरावृत्ति अनुपात द्वारा परिभाषित किया गया है
      • एफn= एफn-1 + एफn-2 मूल्यों के साथ एफ1 = 1, एफ2 = 1 या एफ0 = 0, एफ1 = 1
      • एफ का अनुपातn/ एफn-1 को गोल्डन अनुपात या फि (Φ) कहा जाता है, साथ ही साथ अनुपात एफ भीn-1/ एफn."1
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