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मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना कैसे करें

मैट्रिक्स बीजगणित आधुनिक कंप्यूटर ग्राफिक्स और इंजीनियरिंग के विकास के लिए केंद्रीय है। वास्तविक संख्या के साथ हमेशा की तरह बीजगणित काम करता है, मैट्रिक्स बीजगणित में एरे और वेक्टर समीकरणों को छेड़छाड़ करने के लिए उपकरण और विधियां प्रदान की जाती हैं। एक सरणी समूह संख्याओं का एक रूप है, जिसे स्तंभों और पंक्तियों में व्यवस्थित किया जाता है- एक मैट्रिक्स के उलटा (जिसे एक गुणात्मक उलटा भी कहा जाता है) एक वास्तविक संख्या के पारस्परिक रूप से समान रूप से काम करता है।

चरणों

विधि 1
2x2 मैट्रिक्स के उलटे

एक मैट्रिक्स चरण 1 के व्युत्क्रम का पता लगाएं शीर्षक वाला छवि
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सुनिश्चित करें कि आपकी सरणी चौकोर है एक सरणी केवल अदम्य है (यानी, इसमें केवल एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स हो सकता है) यदि कॉलम की संख्या इसकी संख्या की संख्या के बराबर होती है। यदि कोई सरणी चौकोर नहीं है, तो उसके पास कोई व्युत्क्रम नहीं है।
  • शीर्षक वाली छवि मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं चरण 2
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    सुनिश्चित करें कि आपकी सरणी 2x2 है यदि आपके मैट्रिक्स में 2 पंक्तियाँ और 2 कॉलम हैं, तो आप इस विधि से इसके व्युत्क्रम की गणना कर सकते हैं। यदि सरणी में 3 या अधिक पंक्तियाँ और 3 या अधिक कॉलम हैं, तो दूसरी विधि का उपयोग करें।
  • एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं शीर्षक शीर्षक छवि 3
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    सूत्र पता है 2x2 मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए, ऊपर दिए गए आंकड़े में दिखाए गए सूत्र का उपयोग करें।
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    कॉफ़ैक्टर्स की गणना करें रहोij आई-वें पंक्ति में मैट्रिक्स का तत्व और जे-वें स्तंभ में, इसकी कॉफ़ैक्टर एij अभिव्यक्ति (-1) द्वारा गणना की जाएगी(आई + जे) x डेटij), जहां detij) i-th पंक्ति और जेथ कॉलम को हटाकर गठित 2x2 मैट्रिक्स के निर्धारक का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें से यह तत्व एक हिस्सा है। ऊपर दिखाए गए अनुसार 2x2 मैट्रिक्स के निर्धारक प्राप्त किया जा सकता है।
  • शीर्षक वाली छवि मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं चरण 5
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    मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें। निर्धारक एक पूर्ण मूल्य है जिसे किसी भी वर्ग मैट्रिक्स से गणना किया जा सकता है। निर्धारक की गणना करने के लिए, बस मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों के कॉफ़ैक्टर्स जोड़ें।
  • एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं शीर्षक वाला चित्र चरण 6
    6
    सत्यापित करें कि निर्धारक शून्य है यदि मैट्रिक्स निर्धारक का मान 0 के बराबर है, तो इस मैट्रिक्स में कोई व्युत्क्रम नहीं है।
  • एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं शीर्षक शीर्षक छवि 7
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    उलटा मैट्रिक्स खोजें जैसा कि आप ऊपर नोट करते हैं, 2x2 मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को प्राप्त करना बहुत आसान है: तत्वों की स्थिति को बदलने11 और22, तत्वों के संकेत को बदलने के लिए12 और21 और अंत में निर्धारक के मूल्य से उन सभी को विभाजित करते हैं
    • यह प्रक्रिया बेहतर ढंग से समझने के लिए, दूसरी विधि का उदाहरण दें।
  • विधि 2
    2x2 से बड़ा सरणी के उलटा




    शीर्षक वाली छवि मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं चरण 8
    1
    सुनिश्चित करें कि आपकी सरणी चौकोर है एक सरणी केवल अदम्य है (यानी, इसमें केवल एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स हो सकता है) यदि कॉलम की संख्या इसकी संख्या की संख्या के बराबर होती है। यदि कोई सरणी चौकोर नहीं है, तो इसमें कोई व्यस्त नहीं है।
  • एक मैट्रिक्स चरण 9 के व्युत्क्रम का पता लगाएं शीर्षक वाला छवि
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    सुनिश्चित करें कि आपकी सरणी 2x2 है यदि आपके मैट्रिक्स में 2 पंक्तियाँ और 2 कॉलम हैं, तो आप इसके विपरीत तरीकों की गणना कर सकते हैं। यदि आपके सरणी में 3 या अधिक पंक्तियाँ और 3 या अधिक कॉलम हैं, तो इस विधि का उपयोग करें।
    • उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए आंकड़े के मैट्रिक्स को देखें: मैट्रिक्स ए में 3 पंक्तियाँ और 3 कॉलम हैं, इसलिए आपको इसके व्युत्क्रम को खोजने के लिए इस पद्धति का पालन करना होगा।
  • एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं शीर्षक 10 चित्र
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    अपने मैट्रिक्स के सभी कॉफ़ैक्टर्स की गणना करें। रहोij आई-वें पंक्ति में मैट्रिक्स का तत्व और जे-वें स्तंभ में, इसकी कॉफ़ैक्टर एij अभिव्यक्ति (-1) द्वारा गणना की जाएगी(आई + जे) x डेटij), जहां detij) i-th पंक्ति और जेथ कॉलम को हटाकर गठित 2x2 मैट्रिक्स के निर्धारक का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें से यह तत्व एक हिस्सा है।
    • उदाहरण के ऊपर मैट्रिक्स में, कॉफ़ैक्टर्स हैं: ए11= 5, ए12= -1, ए13= -7, ए21= -1, ए22= -7, ए23= -5, ए31= -7, ए32= 5 और ए33= -1
  • एक मॅट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं शीर्षक शीर्षक छवि 11
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    मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें। निर्धारक एक पूर्ण मूल्य है जिसे किसी भी वर्ग मैट्रिक्स से गणना किया जा सकता है। निर्धारक की गणना करने के लिए, बस मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों के कॉफ़ैक्टर्स जोड़ें।
    • उदाहरण मैट्रिक्स में निर्धारक की गणना निम्नानुसार होगी: ए11 + 12 + 13 = 5-1 -7 = -3
  • एक मैट्रिक्स चरण 12 के व्युत्क्रम का पता लगाएं शीर्षक वाला छवि
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    सत्यापित करें कि निर्धारक शून्य है यदि मैट्रिक्स निर्धारक का मान 0 के बराबर है, तो इस मैट्रिक्स में कोई व्युत्क्रम नहीं है।
    • ऊपर मैट्रिक्स में, निर्धारक 0 के बराबर नहीं है (इसका मूल्य 3 के बराबर है), ताकि आप अगले चरण पर जा सकें
  • शीर्षक वाली छवि मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं चरण 13
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    कॉफ़ैक्टर्स के मैट्रिक्स का निर्माण यदि मैट्रिक्स का निर्धारक नोजरोज़ा है, तो इसका अगला चरण सभी कॉफ़ैक्टर्स के साथ एक सरणी बनाना है।
    • उदाहरण मैट्रिक्स में, कॉफ़ेक्टर्स का मैट्रिक्स ऊपर दिए गए आंकड़े में दिखाया जाएगा।
  • एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं शीर्षक 14 छवि
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    इस सरणी के पंक्तियों और स्तंभों को स्थानांतरित करें। कॉफ़ैक्टर सरणी के निर्माण के बाद, आपको स्तंभों और पंक्तियों के माध्यम से पंक्तियों को उस सरणी की पंक्तियों से स्वैप करना चाहिए जिससे कि कॉफ़ैक्टर सरणी के संक्रमण का निर्माण किया जा सके।
    • उदाहरण के तौर पर, कॉफ़ेक्टर्स का ट्रांस्पोज़ेबल मैट्रिक्स जैसा ऊपर दिए गए आंकड़े में दिखाया जाएगा।
  • मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं शीर्षक शीर्षक छवि 15
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    निर्धारक द्वारा ट्रांसक्यूट किए गए मैट्रिक्स के तत्वों को विभाजित करें। ट्रांस्फ़्ड मैट्रिक्स प्राप्त करने के बाद, निर्धारक के मूल्य से अपने प्रत्येक तत्व को विभाजित करें। इस प्रक्रिया का परिणामस्वरूप मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स के व्युत्क्रम होगा।
    • हमारे उदाहरण में, उलटा मैट्रिक्स जैसा ऊपर दिए गए आंकड़े में दिखाया जाएगा।
  • युक्तियाँ

    • एक पहचान मैट्रिक्स एनएक्सएन में शून्य के बराबर सभी तत्व हैं, केवल विकर्ण तत्वों को छोड़कर, जो सभी 1 के बराबर होते हैं।
    • याद रखें कि एक 2x2 मैट्रिक्स के व्युत्क्रम केवल तभी मौजूद है यदि11*22 - 21*12 नोजरोज़ा है
    • आप मूल मैट्रिक्स द्वारा एक सरणी गुणा करके - इसे आसानी से एक व्यस्त मैट्रिक्स की वैधता की जांच कर सकते हैं। इसके व्युत्क्रम से -1, आपको एक पहचान मैट्रिक्स प्राप्त करना चाहिए मैं (इसमें दो मैट्रिक्स के समान आयाम होना चाहिए)।
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