कैसे एक घन समीकरण हल करने के लिए

पहली बार जब आप एक तीसरे डिग्री समीकरण को देखते हैं, जो सूत्र का अनुसरण करता है कुल्हाड़ी

सामग्री

चरणों

विधि 1द्विघात सूत्र का उपयोग करना
विधि 2फैक्टर सूची के साथ संपूर्ण समाधान ढूंढना
विधि 3भेदभावपूर्ण विधि का उपयोग करना

³ + bx² + cx + घ = 0, विश्वास करना आम बात है कि इसका कोई समाधान नहीं है। हालांकि, इन कार्यों की जड़ों को खोजने का तरीका सदियों से आसपास रहा है! इतालवी गणितज्ञों निकोलो टार्टाग्लिया और ज़ोरोलामो कार्डानो द्वारा लगभग 500 साल पहले की खोज की गई, यह प्रक्रिया कुछ यूनानियों और रोमियों द्वारा नहीं जानी गई थी। क्यूबिक समीकरणों को सुलझाना मुश्किल हो सकता है, लेकिन सही दृष्टिकोण (और थोड़ा मूल ज्ञान) के साथ, अजीब लोगों को भी महारत हासिल हो सकती है।

चरणों

विधि 1
द्विघात सूत्र का उपयोग करना

एक क्यूबिक समीकरण का पहला चरण चित्रित करें

सत्यापित करें कि समीकरण एक स्थिर है जैसा कि ऊपर वर्णित है, इन कार्यों का पालन करें कुल्हाड़ी³ + bx² + cx + घ = 0 बी, सी, और घ समीकरण की डिग्री को प्रभावित किए बिना 0 हो सकता है, अर्थात्, इसे क्रम 2, 1 और 0 की आवश्यकता नहीं है। इस अपेक्षाकृत सरल विधि का उपयोग करने के लिए, जांचें कि क्या समीकरण स्थिर है, या यदि "डी" है शून्य से अलग यदि डी = 0, तो आप इसका उपयोग कर सकते हैं दूसरी डिग्री समीकरण को हल करने के लिए गाइड एक साधारण गणितीय हेरफेर के बाद द्विघात समारोह के कारणों को खोजने के लिए।

दूसरी तरफ, यदि समीकरण स्थिर है, तो आपको अन्य विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। उनके बारे में अधिक जानने के लिए लेख को पढ़ते रहें।

सबूत में "एक्स" डाल दें चूंकि आपके समीकरण में निरंतरता नहीं है, सभी शब्दों में उनके पास चर "x" है, अर्थात, समारोह को सरल बनाने के लिए "x" को सबूत में रखा जा सकता है इस रूप में समीकरण को दोबारा लिखकर इसे करें एक्स(कुल्हाड़ी² + bx + ग)।

उदाहरण के लिए, मान लें कि मूल समीकरण 3 थाएक्स³ + -2एक्स² + 14एक्स = 0. सबूत में "x" डालकर, हमारे पास है एक्स(3एक्स² + -2एक्स + 14) = 0.

कोष्ठकों में भाग की जड़ों को खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करें आप यह देख सकते हैं कि कोष्ठकों में फ़ंक्शन दूसरी डिग्री है (कुल्हाड़ी² + bx + ग)। इसका अर्थ है कि हम बासखेरा के सूत्र ({ख +/ -वी (ख²- 4एसी)} / 2)। अपने क्यूबिक समीकरण के लिए दो जड़ों को खोजने के लिए इसे करें।

हमारे उदाहरण में, हम इसके मूल्यों का उपयोग करेंगे एक बी और ग बुनियादी सूत्र (क्रमशः 3, -2, और 14, क्रमशः):
{-ख +/ -वी (ख²- 4एसी)} / 2
(- (- 2) +/- v ((-2)²- 4 (3) (14)) / 2 (3)
(2 +/- v (4 - (12) (14)) / 6
(2 +/- v (4- (168)) / 6
{2 +/- v (-164)} / 6
उत्तर 1:
{2 + वी (-164)} / 6
{2 + 12.8मैं} / 6
उत्तर 2:
{2 - 12.8मैं} / 6

क्यूबिक समीकरण की जड़ शून्य है और दो द्विघात में पाए जाते हैं। जबकि द्विघात कार्य के दो जड़ों हैं, घन के तीन होते हैं, आप क्यूबिक समीकरण के लिए पहले से ही दोन कारणों को हल कर रहे हैं, जो कि द्विघात ऐसे मामलों में जहां आप सबूत में "x" डाल सकते हैं, तीसरा जड़ "0" होगा। बधाई हो, आपने अपने पहले क्यूबिक समीकरण को हल किया

इसका कारण यह है कि "किसी भी संख्या का शून्य शून्य परिणाम होता है"। जब आप फॉर्म में समीकरण को कारगर करते हैं एक्स(कुल्हाड़ी² + bx + ग) = 0, इसे दो भागों में विभाजित किया गया है: एक भाग "x" है और दूसरा द्विघात समारोह है। इस अनुमानित समीकरण के लिए रिक्त होना, उसके एक या दोनों भागों को रिक्त होना होगा। इस वजह से, द्विघात समारोह की दोनों जड़ों को भी क्यूबिक की जड़ है। समीकरण (या "एक्स") के पहले भाग को शून्य करने के लिए, हमें एक्स = 0 की आवश्यकता होती है और इसलिए यह क्यूबिक का दूसरा जड़ है।

विधि 2
फैक्टर सूची के साथ संपूर्ण समाधान ढूंढना

एक क्यूबिक समीकरण के चरण का शीर्षक चित्र 5

सुनिश्चित करें कि समीकरण एक स्थिर है यद्यपि उपरोक्त विधि व्यावहारिक है क्योंकि यह किसी भी नए गणितीय ज्ञान का उपयोग नहीं करता है, यह हमेशा काम नहीं करेगा। यदि समीकरण का रूप है कुल्हाड़ी³ + bx² + cx + घ = 0, जो कि "घ" नल के साथ है, आप सबूत में "x" नहीं डाल पाएंगे और परिणामस्वरूप आपको इस खंड में वर्णित विधि का उपयोग करना होगा या नीचे दिए गए अनुभाग में।

उदाहरण के लिए, हम समीकरण 2 लेते हैंएक्स³ + 9एक्स² + 13एक्स = -6 इस मामले में, समानता का सही पक्ष रद्द करने के लिए, बस दोनों तरफ 6 जोड़ें इसलिए, नया समीकरण है: 2एक्स³ + 9एक्स² + 13एक्स + 6 = 0 और, डी = 6 के रूप में, हम "x" को अलग नहीं कर सकते

एक क्यूबिक समीकरण के चरण 6 के साथ चित्र का शीर्षक

क्यूबिक समीकरण को हल करने के लिए, "ए" (गुणांक का गुणांक एक्स³) और घ (निरंतर) एक संख्या के कारक हैं जिनके उत्पाद परिणामों में यह है। उदाहरण के लिए, 6x1 और 2x3 गुणा करके 6 प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, इसके कारक हैं {1, 2, 3, और 6}।

हमारे उदाहरण में, एक = 2 और d = 6. 2 के कारक हैं {1, 2} और 6 के हैं {1, 2, 3, 6}

एक क्यूबिक समीकरण का समाधान शीर्षक चरण 7

"डी" कारकों द्वारा "ए" कारकों को विभाजित करें इसके बाद, "ए" के प्रत्येक कारक द्वारा "ए" के प्रत्येक घटक को विभाजित करके प्राप्त मूल्यों को सूचीबद्ध करें। आमतौर पर इसका परिणाम कई अंशों और कुछ पूर्णांक में होगा। आपके क्यूबिक समीकरण का समाधान, पूर्णांक या इन नंबरों में से एक के विपरीत होगा।

हमारे उदाहरण में, (1, 2) के कारकों द्वारा घ (1, 2, 3, 6), हमारे पास निम्न सेट हैं: {1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 और 2/3} फिर हम इसके विपरीत सेटों को विपरीत में जोड़ते हैं: {1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2 , 2/3 और -2/3} क्यूबिक समीकरण के समाधान अनिवार्य रूप से इस सेट में हैं।

एक क्यूबिक इक्विशन चरण 8 के साथ चित्रित करें

कृत्रिम विभाजन का प्रयोग करें या मैन्युअल रूप से परिणामों की जांच करें। एक बार जब आपके हाथ में संभावित जड़ों की सूची हो, तो आप मूल समीकरण में मैन्युअल रूप से नंबरों को बदलकर और यह जांच कर सकते हैं कि समानता मान्य है या नहीं। हालांकि, अगर आप ऐसा करने में समय बर्बाद नहीं करना चाहते हैं, तो इसमें एक आसान तरीका है जिसमें शामिल है सिंथेटिक डिवीजन नामक एक तकनीक. असल में, पूर्णांक मान को मूल समीकरण के गुणांक से विभाजित किया जाता है। यदि विभाजन बाकी 0 देता है, तो मूल्य और प्रश्न समीकरण का मूल है।

सिंथेटिक डिवीजन एक काफी जटिल विषय है - इस विषय पर अधिक जानकारी के लिए ऊपर दी गई लिंक देखें। इसके बाद, हम यह दिखाएंगे कि इस पद्धति का उपयोग करते हुए हमारे समीकरण के समाधानों में से एक को कैसे प्राप्त करना संभव है।
-1 | 2 9 13 6
__ | -2-7-6
__ | 2 7 6 0
चूंकि हमारे पास शेष 0 है, हम जानते हैं कि (-1) घन समीकरण का समाधान है।

विधि 3
भेदभावपूर्ण विधि का उपयोग करना

एक क्यूबिक समीकरण का समाधान शीर्षक चरण 9

इसके लिए मूल्य लिखें ए बी सी और घ. इस पद्धति में, हम गुणांक पर कड़ी मेहनत करेंगे। इस वजह से, शुरू करने से पहले अपने मूल्यों को लिखना महत्वपूर्ण है ताकि गणनाओं के दौरान उन्हें भूल न सकें।

उदाहरण के लिए, समीकरण के लिए एक्स³ - 3एक्स² + 3एक्स - 1, एक को नोट करना चाहिए = 1, बी = -3, सी = 3 और डी = -1 यह मत भूलो कि जब "एक्स" के सामने कोई गुणांक नहीं है, तो इसका कारण यह मान 1 है।

एक क्यूबिक समीकरण का स्टेप 10 नामक चित्र शीर्षक

गणना करें Δ0 = ख² - 3एसी. इस पद्धति के लिए कुछ जटिल गणना की आवश्यकता है, लेकिन चरण-दर-चरण का पालन करके आप महसूस करेंगे कि यह क्यूबिक समीकरणों की जड़ों को खोजने के लिए एक मौलिक टूल है। शुरू करने के लिए, Δ0 का मान, सूत्र में गुणांक को बदलने के लिए आवश्यक कई स्थिरांकों का पहला पता लगाएं ख² - 3एसी.

हमारे उदाहरण के लिए हल, हमारे पास:
ख² - 3एसी
(-3)² - 3 (1) (3)
9-3 (1) (3)
9- 9 = 0 = Δ0

चित्र एक क्यूबिक समीकरण का समाधान चरण 11

गणना करें Δ1 = 2ख³ - 9एबीसी + 27²घ. हमें जो अन्य स्थिरांक की जरूरत है, Δ1 को थोड़ी अधिक काम की आवश्यकता है, लेकिन Δ0 के समान गणना की जाती है। बस सूत्र 2 में गुणांक के मूल्यों को बदलेंख³ - 9एबीसी + 27²घ Δ1 को खोजने के लिए

हमारे उदाहरण में:
2 (-3)³ - 9 (1) (- 3) (3) + 27 (1)²(-1)
2 (-27) -9 (-9) + 27 (-1)
-54 + 81-27
81 - 81 = 0 = Δ 1

चित्र एक क्यूबिक समीकरण का समाधान स्टेप 12

समीकरण को हल करें Δ = Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27². इसके बाद, हम घनत्व के भेदभाव की गणना करते हैं Δ0 और Δ1 के मूल्यों के साथ एक भेदभाव मूल रूप से एक संख्या है जो हमें एक बहुपद की जड़ों के बारे में जानकारी देता है (उदाहरण के लिए, संभवतः भास्कर के विवेक को पता है, ख² - 4एसी)। एक घन समीकरण के मामले में, यदि भेदभाव सकारात्मक है, तो उसके पास तीन जड़ें होंगी, यदि भेदभाव नकारात्मक है, तो उसके पास एक ही रूट होगा। एक क्यूबिक फंक्शन में हमेशा एक वास्तविक समाधान होगा क्योंकि आपके ग्राफ को क्षैतिज अक्ष का कम से कम एक बार काटने की आवश्यकता है।

हमारे उदाहरण में, दोनों Δ0 और Δ1 = 0, के रूप में गणना be बेहद सरल होगी:
Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27²
(0)² - 4 (0)³) ÷ -27 (1)²
0 - 0 ÷ 27
0 = Δ, तो हमारे समीकरण में एक या दो जवाब दिए गए हैं।

गणना सी = ³v (v ((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1) / 2) गणना करने के लिए अंतिम महत्वपूर्ण स्थिरांक "सी" है। इसे खोजने के लिए, बस आवश्यकतानुसार Δ 1 और Δ0 के मूल्यों को प्रतिस्थापित करें।

हमारे उदाहरण में:
³v (v ((Δ1² - 4Δ0³) + Δ1) / 2)
³वी (वी 0² - 4 (0)³) + (0)) / 2)
³वी (वी ((0 - 0) + (0)) / 2)
0 = सी

एक क्यूबिक समीकरण का समाधान शीर्षक चरण 14

गणना स्थिरांक के साथ घन समीकरण के तीन जड़ों की गणना करें। उन्हें सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है (ख + यूⁿसी + (Δ0 /यूⁿसी)) / 3, जहाँ यू = (-1 + वी (-3)) / 2 और n 1, 2, या 3 के मान मानता है। आवश्यकतानुसार मूल्यों को बदलें। हालांकि कई गणना आवश्यक हैं, आपको क्यूबिक समीकरण की तीन जड़ें मिलनी चाहिए।

हमारे उदाहरण में, हम n = 1, 2 या 3 के मूल्यों के लिए समीकरण को हल कर सकते हैं। प्राप्त होने वाले उत्तर में घन समीकरण का संभावित समाधान हो सकता है (बस उन्हें प्रतिस्थापित करें और जांचें अगर हमें मिलते हैं 0)। उदाहरण के लिए, यदि हमें हमारे परीक्षणों में से 1 में से एक का मूल्य मिलता है, जैसे फ़ंक्शन में "x" की जगह एक्स³ - 3एक्स² + 3एक्स - 0 में 1 परिणाम, हम जानते हैं कि 1 सवाल में घन समीकरण की जड़ों में से एक है।

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