रैखिक डायोफैंटिन समीकरण को कैसे हल करें

डायोफांटाइन समीकरण एक अतिरिक्त बयान के साथ बीजीय समीकरण है कि हम केवल उन समाधानों से संबंधित हैं जहां चर integers हैं "सामान्य" में, वहाँ समीकरण के इस प्रकार हल करने के लिए कई तरीके हैं (फर्मेट के अंतिम प्रमेय एक प्रसिद्ध Diophantine समीकरण है कि 350 से अधिक वर्षों के लिए हल किया जा रहा बिना किया गया है।)

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हालांकि, के रूप में Diophantine "रैखिक" समीकरण "x" + ब "y" = c अपेक्षाकृत आसानी से एल्गोरिथ्म यहाँ विवरण का उपयोग कर हल किया जा सकता। इस विधि का उपयोग करते हुए, हम (4,7) 31 के लिए सकारात्मक पूर्णांक में एकमात्र समाधान के रूप में पा सकते हैंएक्स + 8y = 180. मॉड्यूलर अंकगणित में प्रभाग को एक रेखीय डायोफैंटिन समीकरण के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 12/7 (मोड 18) 7 के समाधान के लिए पूछता हैएक्स = 12 (मोड 18) और 7 के रूप में फिर से लिखा जा सकता हैएक्स = 12 + 18y या 7एक्स - 18y = 12. इन समीकरणों में से कुछ को हल करना बेहद मुश्किल है, तो आप इसका अनुभव कर सकते हैं।

चरणों

चित्र एक रैखिक डायोफैंटिन समीकरण का पहला चरण 1

यदि अभी तक नहीं है, तो समीकरण को किसी रूप में रखेंएक्स + खy = सी।

चित्र एक रैखिक डायोफैंटिन समीकरण का चरण 2

Coefficients a और b पर यूक्लिडियन एल्गोरिदम लागू करें। इसके दो उद्देश्यों हैं सबसे पहले, हम यह जानना चाहते हैं कि ए और बी में आम बात है। यदि आप 4 को हल करने की कोशिश कर रहे हैंएक्स + 10y = 3, हम जल्दी से कह सकते हैं कि अगर बाईं ओर हमेशा भी होता है और सही हमेशा अजीब होता है, तो कोई पूरा समाधान नहीं होता है इसी तरह, अगर हमारे पास 4 थाएक्स + 10y = 2, हम 2 के लिए समस्या को आसान बना सकते हैंएक्स + 5y = 1। दूसरा कारण है: स्थापित किया गया है कि एक समाधान मौजूद है, हम यूक्लिडियन एल्गोरिथम से प्राप्त उद्धरणों के अनुक्रम से एक का निर्माण कर सकते हैं।

चित्र एक रैखिक डायोफैंटिन समीकरण का चरण 3

अगर "एक", "बी" और "सी" एक आम कारक है, तो इस पहलू से समीकरण के बाएं और दाएं पार्श्वों विभाजित करके आसान बनाने में। यदि "ए" और "बी" का एक आम कारक "सी" के साथ साझा नहीं किया गया है, तो रोकें। कोई पूरा समाधान नहीं है

चित्र एक रैखिक डायोफैंटिन समीकरण को हल करें शीर्षक चरण 4

चित्रा में दिखाए अनुसार तीन-पंक्ति स्प्रेडशीट बनाएं।

चित्र एक रैखिक डायोफैंटिन समीकरण का चरण शीर्षक 5

ऊपरी पंक्ति में यूक्लिड के एल्गोरिथम के उद्धरण दर्ज करें इस चित्र में, यह दिखाया गया है कि कैसे 87 का संकल्पएक्स - 64y = 3

एक रेखीय डायोफैंटिन समीकरण के चरण 6 का शीर्षक चित्र

दो नीचे की पंक्तियों पर, बाएं से दाएं, निम्नलिखित करें: प्रत्येक सेल के लिए, उस कॉलम के ऊपर और खाली सेल के बाईं ओर सेल उत्पाद रखें। बाईं ओर दो कोशिकाओं के मूल्य को जोड़कर इस सेल को उत्पाद के साथ भरें।

चित्र एक रैखिक डायोफैंटिन समीकरण का चरण शीर्षक 7

संपूर्ण तालिका के पिछले दो स्तंभों को देखें। अंतिम स्तंभ (यदि नहीं, अपनी गणना की समीक्षा) "एक" और चरण 3 में समीकरण गुणांकों के अलावा "बी" होना चाहिए। अंतिम कॉलम में दो अन्य नंबर शामिल होंगे उदाहरण के लिए, साथ में = 87 और ख = 64, अंतिम कॉलम के बगल में 34 और 25 है

चित्र एक रैखिक डायोफैंटिन समीकरण का चरण शीर्षक 8

ध्यान दें कि 87 * 25-64 * 34 = -1 सही पर 2x2 मैट्रिक्स के निर्धारक हमेशा प्लस से कम या शून्य से 1. नकारात्मक तो है, के लिए -1 पहचान द्वारा दोनों पक्षों गुणा 87 * 25 + 64 * 34 = 1. इस अवलोकन के निर्माण के लिए प्रारंभिक बिंदु है समाधान।

चित्र एक रैखिक डायोफैंटिन समीकरण का चरण शीर्षक 9

मूल समीकरण पर लौटें पिछले चरण 87 * जितना की पहचान पुनर्लेखन (- 25) + 64 * (34) = 1 या के रूप में * 87 (- 25) - 64 * (- 34) = 1. क्या बेहतर मूल समीकरण याद का संदर्भ लें। उदाहरण के लिए, दूसरी पसंद बेहतर है क्योंकि यह मूल में -64 के शब्द से मेल खाता है, जहां पर y = -34

चित्र एक रैखिक डायोफैंटिन समीकरण का चरण 10

अब हमें सिर्फ समीकरण के दाहिनी ओर निरंतर शब्द "सी" को देखना होगा। चूंकि उपरोक्त समीकरण इसके लिए एक समाधान दर्शाता हैएक्स + खy = 1, प्राप्त करने के लिए "c" द्वारा दोनों पक्ष गुणा करके (cएक्स) + बी (सीy) = सी। यदि (-25, -34), तो हमारे पास 87 के लिए एक समाधान होगाएक्स - 64y = 1. इस प्रकार, (-75, -102) 87 के लिए एक समाधान हैएक्स-64y = 3

चित्र एक रैखिक डायोफैंटिन समीकरण का चरण शीर्षक 11

यदि डायोफैंटिन समीकरण का कोई समाधान है, तो उसके पास दूसरों की अनन्तता है इसका कारण यह हैएक्स + खy = एक (एक्स+बी) + बी (y-ए) = एक (एक्स+2 बी) + बी (वाई -2 ए), और सामान्य तौर परएक्स + खy = एक (एक्स+कश्मीरबी) + बी (y-कश्मीरक) किसी भी पूर्णांक कश्मीर के लिए इसलिए, (-75, -102) 87 के लिए एक समाधान हैएक्स-64y = 3, अन्य समाधान हैं (-11, -15), (53.72), (117.159), आदि। सामान्य समाधान के रूप में लिखा जा सकता है (53 + 64कश्मीर, 72 + 87कश्मीर), जहां "कश्मीर" कोई पूर्णांक है

युक्तियाँ

आप इसे पेंसिल और कागज के साथ हल करने में सक्षम होना चाहिए। यदि आपको बड़ा खाता करने की आवश्यकता है तो कैलक्यूलेटर और गणना शीट आपकी मदद करेंगे
अपना जवाब जांचें चरण 8 में दिए गए निर्देशों को यूक्लिड के एल्गोरिथम में बनाई गई कोई भी गलती या तालिका भरने में आपकी सहायता करनी चाहिए। मूल समीकरण के साथ अंतिम उत्तर की तुलना करना त्रुटियों की पहचान करने में सहायक भी होना चाहिए।

आवश्यक सामग्री

पेंसिल और कागज, शायद एक कैलकुलेटर।

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