बीजगणित में एकाधिक चर के साथ रैखिक समीकरण को हल करने के लिए
कई चर के साथ रैखिक समीकरणों के समीकरण दो या अधिक अज्ञात होते हैं (आमतौर पर `x` और `y` द्वारा दर्शाए गए हैं) उन्मूलन और प्रतिस्थापन सहित इन समीकरणों को हल करने के कई तरीके हैं।
चरणों
विधि 1
रैखिक समीकरणों के घटकों को समझना
1
समझें कि समीकरण कितने चर के साथ हैं I दो या अधिक समूहीकृत रैखिक समीकरण को एक सिस्टम कहा जाता है। इसका मतलब है कि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली तब होती है जब दो या दो से अधिक रैखिक समीकरणों को एक ही समय में हल किया जा रहा है। उदाहरण के लिए:
- 8x-3y = -3
- 5x = 2y = -1
- ये दो रैखिक समीकरण हैं जिन्हें एक ही समय में हल किया जाना चाहिए, यानी आपको दोनों को हल करने के लिए दोनों समीकरणों का उपयोग करना चाहिए।
2
पता है कि आप चर या अज्ञात के मूल्यों का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं। रैखिक समीकरणों की समस्या का उत्तर संख्याओं का एक अनुक्रम जोड़ी है जो दोनों समीकरणों को सही बनाते हैं।
- हमारे उदाहरण के मामले में, आप यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि अक्षरों के `x` और `y` का प्रतिनिधित्व करने वाले अक्षर दोनों समीकरणों को सही बनाते हैं। इस उदाहरण में, x = -3 और y = -7 उन्हें समीकरण में बदलें 8 (-3) -3 (-7) = -3 यह सच है 5 (-3) -2 (-7) = -1 यह भी सच है।
3
जानें कि एक संख्यात्मक गुणांक क्या है। संख्यात्मक गुणांक केवल एक संख्या है जो एक चर से पहले आता है। जब आप विलोपन विधि का उपयोग करते हैं तो आप इन संख्यात्मक गुणकों का उपयोग करेंगे। हमारे उदाहरण के समीकरण में, संख्यात्मक गुणांक हैं:
- पहला समीकरण में 8 और 3 - दूसरे में 5 और 2।
4
उन्मूलन की विधि और प्रतिस्थापन के साथ हल करने के बीच अंतर को समझें। जब आप कई चर के साथ एक रैखिक समीकरण को हल करने के लिए उन्मूलन का उपयोग करते हैं, तो आप उन चर में से एक से छुटकारा पाएं जिनके साथ आप काम कर रहे हैं (जैसे `x`), ताकि आप अन्य वैरिएबल (`वाई`) पा सकते हैं। एक बार जब आप `वाई` पाते हैं, तो आप समीकरण में मान का स्थान बदल सकते हैं और `एक्स` पा सकते हैं (चिंता न करें, यह विधि 2 में विस्तार से कवर किया जाएगा)।
- दूसरी जगह, रिप्लेसमेंट, वह है जहां आप एक एकल चर को खोजने के लिए सिर्फ एक समीकरण के साथ काम करना शुरू करते हैं। एक बार जब आप एक समीकरण हल कर लेते हैं, तो आप दूसरे समीकरण में पाए गए मूल्य को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, प्रभावी रूप से दो छोटे समीकरणों से एक बड़ा समीकरण बना सकते हैं। दोबारा, चिंता न करें, यह विधि 3 में विस्तार से कवर किया जाएगा।
5
समझे कि तीन या अधिक चर के साथ रैखिक समीकरण हो सकते हैं। इन मामलों को दो चर के साथ रैखिक समीकरणों के समान ही हल किया जा सकता है। आप विलोपन और प्रतिस्थापन की विधि का उपयोग कर सकते हैं, अगर आपको दो चर मिल जाए, तो यह थोड़ी अधिक समय लगेगा, लेकिन प्रक्रिया एक ही है।
विधि 2
उन्मूलन के साथ एक रैखिक समीकरण को हल करना
1
अपने समीकरण को देखो समस्या को हल करने के लिए, आपको समीकरणों के घटकों के साथ अपने आप को परिचित करना होगा। चर को हटाने के तरीके जानने के लिए निम्न उदाहरण का उपयोग करें:
- 8x-3y = -3
- 5x = 2y = -1
2
हटाने के लिए एक चर चुनें एक चर को खत्म करने के लिए, एक चर के संख्यात्मक गुणांक (चर के सामने की संख्या) एक दूसरे के विपरीत होना चाहिए (उदाहरण के लिए, 5 और -5 विपरीत हैं)। लक्ष्य एक चर से छुटकारा पाने के लिए है ताकि आप एक को घटाकर एक को नष्ट कर सकें। इसका मतलब है कि दोनों ही समीकरणों में एक ही चर के गुणांक को रद्द करना। उदाहरण के लिए:
- 8x - 3y = -3 (समीकरण ए) और 5x - 2y = -1 (समीकरण बी) पर, आप दोनों समीकरणों में 6 ए के लिए समीकरण A को 2 और बी 3 से गुणा कर सकते हैं।
- यह ऐसा दिखेगा: समीकरण ए: 2 (8x - 3y = -3) = 16x -6y = -6
- समीकरण बी: 3 (5x - 2y = -1) = 15x -6y = -3
3
वेरिएबल्स को खत्म करने और दूसरे को ढूंढने के लिए दो समीकरणों को जोड़ना या घटाना अब जब आपके पास एक वैरिएबल है जिसे हटाया जा सकता है, तो आप इसे जोड़कर या घटाकर कर सकते हैं। एक बात या अन्य करना यह निर्भर करता है कि आप चर को कैसे हटा सकते हैं। हमारे उदाहरण में यह घटाना आवश्यक है, क्योंकि 6 के समीकरण में से प्रत्येक में है:
- (16x-6y = -6) - (15x-6y = -3) = 1x = -3 इसलिए, x = -3
- अन्य मामलों के लिए, यदि एक्स का संख्यात्मक गुणांक 1 जोड़ या घटाया जाने के बाद नहीं है, तो हमें समीकरण को सरल बनाने के लिए संख्यात्मक गुणांक से दोनों पक्षों को विभाजित करना होगा।
4
शेष चर को खोजने के लिए पाया मूल्य दर्ज करें अब जब आपको `x` का मान मिल गया है, तो आप उस नंबर को `ओ` खोजने के लिए मूल समीकरणों में से किसी एक में बदल सकते हैं। जब आप जानते हैं कि यह एक समीकरण में काम करता है, तो आप यह सुनिश्चित करने के लिए एक अन्य समीकरण में मान दर्ज करने का प्रयास कर सकते हैं:
- समीकरण बी: 5 (-3) - 2y = -1, फिर -15 -4 = -1 दोनों पक्षों में 15 जोड़ें, ताकि -4 = 14। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें- y = -7 खोजने के लिए।
- इसलिए, x = -3 और y = -7
5
अपने परिणामों को दोनों समीकरणों में बदलें ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि वे सही हैं। एक बार जब आप अपना चर पाते हैं, मूल समीकरणों में मानों का स्थान ले लें तो यह सुनिश्चित कर लें कि वे सही हैं। अगर आपके द्वारा प्राप्त चर के साथ एक समीकरण गलत हो जाता है, तो आपको फिर से प्रयास करना होगा।
- 8 (-3) - 3 (-7) = -3, फिर -24 +21 = -3 TRUE
- 5 (-3) -2 (-7) = -1, फिर -15 +14 = -1 सत्य।
- इसलिए, हम पाते हैं कि चर सही हैं।
विधि 3
प्रतिस्थापन के साथ एक रैखिक समीकरण को हल करना
1
किसी भी चर को खोजने के लिए एक समीकरण को हल करके शुरू करें। कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप किस समीकरण के साथ काम करने का निर्णय लेते हैं, जो चर आप भी पहले पाएंगे, समाधान हमेशा एक जैसा ही होगा हालांकि, प्रक्रिया को यथासंभव सरल बनाना महत्वपूर्ण है। आपको समीकरण का चयन करना चाहिए जो आपको लगता है कि सबसे अधिक कार्य करेगा। उदाहरण के लिए, यदि कोई समीकरण है जहां एक गुणांक 1 है, जैसे x - 3y = 7, तो इसे चुनने के लिए अधिक सलाह दी जाती है क्योंकि यह `x` का मान खोजना आसान होगा उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे समीकरण हैं:
- x - 2y = 10 (समीकरण ए) और -3x -4y = 10 (समीकरण बी)। आप x - 2y = 10 के साथ काम करना चुन सकते हैं, क्योंकि इस समीकरण में एक्स का गुणांक 1 है
- समीकरण ए में एक्स को खोजने के लिए, हमें दोनों पक्षों में 2 से जोड़ना होगा। इसलिए, x = 10 + 2y
2
अपने समीकरण को दूसरे समीकरण में चरण 1 से बदलें। इस चरण के लिए, आपको दूसरे समीकरण में `x` के समाधान को सम्मिलित करना होगा (या प्रतिस्थापित करना होगा) जिसे आपने काम नहीं किया है यह आपको अन्य चर को खोजने के लिए अनुमति देगा, इस मामले में `वाई` चलो कोशिश करो:
- समीकरण बी में समीकरण बी का `एक्स` दर्ज करें: -3 (10 + 2 ए) -4y = 10। ध्यान दें कि हम समीकरण से `एक्स` को निकालते हैं और मान का प्रतिनिधित्व करते हैं जो इसे दर्शाता है।
3
अन्य चर का मान ढूंढें अब जब आपने समीकरण से एक चर को निकाल दिया है, तो आप अन्य वैरिएबल को पा सकते हैं। इसके लिए, यह एक चर के सामान्य रैखिक समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त है। आइए हम हल करें:
- -3 (10 + 2 सा) -4 य = 10 है -30 -6 और -4 या = 10
- Y का मान दें: -30 - 10 या = 10
- -30 को दूसरी तरफ ले जाएं: -10y = 40
- Y का मान खोजें: y = -4
4
दूसरा चर खोजें ऐसा करने के लिए, आपके द्वारा `वाई` के लिए मिले परिणामों को बदलें, या पहले वेरिएबल, एक समीकरण में। फिर दूसरे चर को खोजें, इस मामले में `x` चलो कोशिश करो:
- Y = -4: x - 2 (-4) = 10 सम्मिलित करके समीकरण A में `एक्स` ढूंढें
- समीकरण को सरल बनाएं: x + 8 = 10
- एक्स: x = 2 का मान खोजें
5
सत्यापित करें कि चर के लिए मिले मान दोनों समीकरणों के लिए काम करते हैं यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे सही समीकरण बनाते हैं, प्रत्येक समीकरण में दो चर के मूल्य को बदलें। देखते हैं कि हमारा काम क्या है:
- समीकरण ए: 2 - 2 (-4) = 10 सच है।
- समीकरण बी: -3 (2) -4 (-4) = 10 सच है।
युक्तियाँ
- संकेतों पर ध्यान दें चूंकि बहुत सारे बुनियादी कार्यों का उपयोग किया जाना है, संकेतों को गमागमन आपकी गणना के हर चरण को प्रभावित कर सकता है।
- अंतिम उत्तरों की पुष्टि करें आप किसी भी मूल समीकरणों में अंतिम उत्तर में प्राप्त किए गए संगत मानों के साथ चर को बदलकर ऐसा कर सकते हैं। यदि समीकरण के दोनों ओर एक ही मूल्य में परिणाम होता है, तो इसका मतलब है कि आपका उत्तर सही है।
सूत्रों और कोटेशन
और पढ़ें ... (3)
सामाजिक नेटवर्क पर साझा करें:
संबद्ध
वर्टेक्स कैसे खोजें- विभेदक समीकरणों को कैसे हल करें
- दो पक्षीय चर के साथ समीकरण का समाधान कैसे करें
- रासायनिक समीकरणों को संतुलित कैसे करें
रैखिक फ़ंक्शंस की गणना कैसे करें
कैसे बीजगणितीय दो-पंक्ति चौराहे खोजें
एक्स का चौराहे कैसे खोजें
कैसे एक हाइपरबोला के Asymptotes के समीकरणों को ढूँढें- ध्रुवीय समीकरण रेखांकन कैसे करें
रैखिक समीकरण को कैसे ग्राफ़ करें
चौराहण विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को कैसे ग्राफ़ करें
सरल बीजीय समीकरणों को हल करने के लिए
रैखिक डायोफैंटिन समीकरण को कैसे हल करें
त्रिकोणमितीय समीकरणों को कैसे हल करें
समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें
कैसे दो चर के साथ बीजीय समीकरण की एक प्रणाली को हल करने के लिए
सरल रैखिक समीकरण को कैसे हल करें
कैसे एक 2x3 मैट्रिक्स को हल करने के लिए
समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए ग्राफ़िंग कैलक्यूलेटर का उपयोग कैसे करें
अजीब जड़ें के साथ गड़बड़ी समीकरण का समाधान कैसे करें- बहुपद समीकरणों को कैसे हल करें