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कैसे दो चर के साथ बीजीय समीकरण की एक प्रणाली को हल करने के लिए

"समीकरण प्रणाली" में, आपको एक या दो से अधिक समीकरणों को एक साथ हल करने के लिए कहा जाता है जब दोनों के पास अलग-अलग चर, जैसे एक्स और वाई, या ए और बी, तो उन्हें हल करने का पता लगाना कठिन लग सकता है। सौभाग्य से, एक बार आप जानते हैं कि क्या करना है, आपको समस्या का समाधान करने के लिए कुछ बुनियादी बीजगणित ज्ञान (और कभी-कभी अंशों का कुछ ज्ञान) की आवश्यकता होगी। यदि आप एक दृश्य शिक्षार्थी हैं, या यदि आपके शिक्षक की आवश्यकता है, तो समीकरणों को रेखांकन भी प्रदर्शित करना सीखें। ग्राफ़िंग "क्या हो रहा है देखने" या अपने स्वयं के काम की जांच के लिए उपयोगी हो सकता है, लेकिन यह अन्य तरीकों से धीमी हो सकती है और सभी समीकरण प्रणालियों में इतनी अच्छी तरह से काम नहीं करती है

चरणों

विधि 1
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना

दो चर के साथ बीजीय समीकरण के समाधान सिस्टम शीर्षक चरण 2
1
समीकरण के अलग-अलग ओर चर को पास करें यह "प्रतिस्थापन" विधि वर्तमान समीकरणों में से किसी में "हल एक्स" (या कोई अन्य चर) से शुरू होती है। उदाहरण के लिए, यदि उनमें से एक है 4x + 2y = 8, पहला कदम प्रत्येक पक्ष से 2y घटाकर इस अनुक्रम को फिर से व्यवस्थित करना है, ताकि हम 4x = 8-24.
  • अक्सर, इस विधि में बाद में भिन्नता का उपयोग होता है यदि आप को अंशों का उपयोग करने में कठिनाई होती है तो आप उन्मूलन विधि को कम करने का प्रयास कर सकते हैं।
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    2
    "एक्स को हल" करने के लिए समीकरण के दोनों ओर विभाजित करें समीकरण के एक तरफ एक बार जब आपके पास शब्द x (या जो भी वेरिएबल उपयोग में है) है, तो इनुल्ट व्हेरिएबल पाने के लिए दोनों पक्षों को विभाजित करें। उदाहरण के लिए:
    • 4x = 8-24
    • (4x) / 4 = (8/4) - (2/4)
    • x = 2 - ½ या
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    3
    अन्य समीकरण में यह डेटा दर्ज करें। सुनिश्चित करें कि आपने वापस आये हैं अन्य समीकरण, जो कि हाल ही में उपयोग किया गया था नहीं। इस समीकरण में, हल वेलेबल को प्रतिस्थापित करें ताकि केवल एक बचे रहे। उदाहरण के लिए:
    • तुम्हें पता है कि x = 2 - 1 / 2y.
    • इसका दूसरा समीकरण, जिसे बदला नहीं गया है, है 5x + 3y = 9.
    • दूसरे समीकरण में, एक्स को प्रतिस्थापित करें 2 - 1/2 सा: 5 (2 - 1 / 2y) + 3y = 9.
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    4
    शेष चर को हल करें आपके पास अब केवल एक चर वाला समीकरण है इसे हल करने के लिए बीजगणित तकनीकों का उपयोग करें यदि आपका चर रद्द हो जाता है, तो अंतिम चरण पर जाएं. अन्यथा, आपके पास अपने चर में से कोई एक प्रतिक्रिया होगी:
    • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
    • 10 - (5/2) और + 3 या = 9
    • 10 - (5/2) और + (6/2) y = 9
      • यदि आप यह कदम नहीं समझते हैं, अंश कैसे जोड़ें. यह प्रक्रिया अक्सर होती है, लेकिन हमेशा इस विधि में आवश्यक नहीं होती है।
    • 10 + साढ़े = 9
    • ½y = -1
    • वाई = -2
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    अन्य चर को हल करने के लिए उत्तर का उपयोग करें आधे में समस्या छोड़ने की गलती न करें अन्य चर को हल करने के लिए, मूल समीकरणों में से एक में प्राप्त परिणाम डालने के लिए आवश्यक होगा।
    • तुम्हें पता है कि वाई = -2.
    • मूल समीकरणों में से एक है 4x + 2y = 8.
      • आप इस चरण में किसी भी समीकरण का उपयोग कर सकते हैं।
    • Y की जगह -2 दर्ज करें: 4x + 2 (-2) = 8.
    • 4x = 4 = 8
    • 4x = 12
    • x = 3
  • दो चर के साथ बीजीय समीकरणों के समाधान सिस्टम नामांकित चित्र चरण 7
    6
    जानें कि क्या करना है जब दोनों चर रद्द करें। डालने के दौरान x = 3y + 2 या अन्य समीकरण में एक समान उत्तर, आप केवल एक चर के साथ परिणाम प्राप्त करने का प्रयास करेंगे कभी-कभी आपके पास एक समीकरण होगा बिना किसी भी चर अपने काम को दोबारा जांचें और सुनिश्चित करें कि आपने पहले समीकरण (पुनर्व्यवस्थित) को दूसरे में दोबारा दर्ज करने के बजाय दूसरे में प्रवेश किया है। यदि आपको विश्वास है कि आपने कोई गलती नहीं की है, तो आपको निम्न में से एक परिणाम मिलेगा:
    • अगर आपको किसी भी चर के बिना एक समीकरण का परिणाम मिलता है और यह सही नहीं है (उदाहरण के लिए, 3 = 5), समस्या कोई समाधान नहीं (यदि आप दोनों समीकरणों को रेखांकन दर्शाते हैं, तो आप देखेंगे कि वे समानांतर थे और कभी प्रतिच्छेदन नहीं करेंगे)।
    • अगर आपको कोई चर के साथ एक समीकरण का परिणाम मिलता है, लेकिन यह है सच (3 = 3 के रूप में), समस्या है अनंत समाधान. दोनों समीकरण एक दूसरे के समान हैं (यदि आप उन्हें ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करते हैं, तो आप देखेंगे कि वे समान पंक्ति हैं)।

    • विधि 2
    विलोपन विधि का उपयोग करना

    दो चर के साथ बीजीय समीकरणों के समाधान सिस्टम नाम से चित्र चरण 9
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    वेरिएबल खोजें जिसे रद्द किया जा सकता है। कभी-कभी, समीकरणों को एक परिवर्तनीय रूप से "रद्द" किया जाता है, जब उनका एक साथ समझा जाता है। उदाहरण के लिए, जब आप समीकरणों को जोड़ते हैं 3x + 2y = 11 और 5x - 2y = 13, "+ 2 ए" और "-2 ए" एक दूसरे को रद्द कर देंगे, समीकरण में मौजूद "वाई" को हटा दें अपनी समस्या में सभी समीकरणों को ध्यान से देखें और पता करें कि इस तरह से किसी भी चर को रद्द कर दिया जाएगा। यदि यह उनमें से किसी के साथ नहीं आता है, तो अधिक जानकारी के लिए अगला चरण पढ़ें।
  • दो चर के समापन वाले बीजीय समीकरणों के समाधान सिस्टम शीर्षक चरण 10
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    किसी भी एक चर को रद्द करने के लिए एक समीकरण गुणा करें - यदि इस चर को पहले से ही रद्द कर दिया गया है, तो इस चरण को छोड़ दें। यदि समीकरणों के पास स्वाभाविक रूप से होने वाली वैरिएबल नहीं है, तो इसे रद्द करने के लिए एक समीकरण को बदलें। यह एक उदाहरण के साथ समझना आसान है:
    • आपके पास समीकरणों की व्यवस्था है 3x-y = 3 और -x + 2y = 4.
    • चलो पहले समीकरण को बदलते हैं ताकि चर y रद्द कर दिया गया है (आप चर चुन सकते हैं एक्स, और उसी अंतिम उत्तर प्राप्त होगा)।
    • चर -y पहले समीकरण में रद्द कर दिया जाना चाहिए +2y सोमवार को उपस्थित हम इसे गुणा करके कर सकते हैं -y 2 से
    • पहले समीकरण के दोनों ओर 2 से गुणा करें, निम्नानुसार है: 2 (3x-y) = 2 (3), इतना है कि 6x - 2y = 6. अब, इस -2y को रद्द कर दिया जाएगा +2y दूसरे समीकरण में मौजूद
  • इमेज शीर्षक से दो चर के साथ बीजीय समीकरण का समाधान सिस्टम चरण 11
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    दोनों समीकरणों को मिलाएं दो समीकरणों को संयोजित करने के लिए, दोनों पक्षों को जोड़ दें और दाएं पक्ष जोड़ें। यदि आपने समीकरण ठीक से परिभाषित किया है, तो एक चर को रद्द कर दिया जाएगा। यहां अंतिम चरण में प्रस्तुत समीकरणों का उपयोग करते हुए एक उदाहरण है।
    • उनके समीकरण हैं 6x - 2y = 6 और -x + 2y = 4.
    • बाएं पक्षों से मेल करें: 6x - 2y - x + 2y =?.
    • सही पक्षों का मिलान करें: 6x-2y-x + 2y = 6 + 4.
  • दो चर के साथ बीजीय समीकरणों के समाधान सिस्टम नाम से चित्र चरण 12
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    आखिरी चर को हल करें संयुक्त समीकरण को सरल बनाएं और अंतिम चर को हल करने के लिए बुनियादी बीजगणित का उपयोग करें। यदि सरलीकरण के बाद कोई भी चर नहीं है, तो इस खंड के अंतिम चरण पर जाएं. अन्यथा, आपके पास चर में से किसी एक का सरल उत्तर होगा। उदाहरण के लिए
    • आपके पास है 6x-2y-x + 2y = 6 + 4.
    • समूह चर एक्स और y एक साथ: 6x-x-2y + 2y = 6 + 4.
    • सरल बनाएं: 5x = 10.
    • फिक्स एक्स: (5x) / 5 = 10/5, वह है, x = 2.
  • दो चर के साथ बीजीय समीकरणों के समाधान सिस्टम नाम से चित्र चरण 13
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    अन्य चर को हल करें आपने एक चर की खोज की है, लेकिन आपने अभी तक समस्या समाप्त नहीं की है अन्य चर को हल करने के लिए मूल समीकरणों में से एक में परिणाम डालें। उदाहरण के लिए:
    • तुम्हें पता है कि x = 2 - इसका मूल समीकरणों में से एक है 3x-y = 3.
    • एक्स के स्थान पर 2 रखें: 3 (2) - y = 3.
    • समीकरण में y को हल करें: 6-वाई = 3.
    • 6 - y + y = 3 + y, इतना है कि 6 = 3 + y.
    • 3 = y
  • दो चर के साथ बीजीय समीकरणों का समाधान सिस्टम शीर्षक चरण 14
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    जानें कि क्या करना है जब दोनों चर रद्द करें। कभी-कभी, दो समीकरणों के संयोजन से एक समीकरण में परिणाम होता है जो बिल्कुल समझ में नहीं आता, या कम से कम यह समस्या को हल करने में आपकी मदद नहीं करता है। शुरुआत से अपना काम दोहराएं, लेकिन अगर कोई गलती नहीं है, तो निम्न में से एक को अंतिम उत्तर के रूप में लिखें:
    • यदि आपके संयुक्त समीकरण में कोई चर नहीं है और यह सत्य नहीं है (जैसे कि 2 = 7) कोई हल नहीं है जो दोनों समीकरणों का काम करेगा (यदि आप दोनों ग्राफिक रूप से प्रतिनिधित्व करते हैं, तो आप देखेंगे कि वे समानांतर होते हैं और कभी भी छितरा नहीं होते हैं)।
    • यदि आपके संयुक्त समीकरण में कोई चर नहीं है और यह सही है (0 = 0), तो वहाँ हैं अंतहीन समाधान. वास्तव में, दो समीकरण वास्तव में समान हैं (यदि आप उन्हें ग्राफ़ करते हैं, तो आप देखेंगे कि वे समान पंक्ति हैं)।

    • विधि 3
    रेखांकन समीकरणों का प्रतिनिधित्व करना

    दो चर के साथ बीजीय समीकरणों के समाधान सिस्टम शीर्षक चरण 15
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    इस पद्धति का उपयोग केवल तभी करें जब संकेत मिले। जब तक आप कंप्यूटर या ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग नहीं कर रहे हैं, समीकरणों की कई प्रणालियों को केवल इस विधि से हल किया जा सकता है। अपने गणित के शिक्षक या किताब से आप इस पद्धति का उपयोग करने के लिए एक रेखीय फैशन में समीकरणों के प्रतिनिधित्व के साथ परिचित हो सकते हैं। आप अपने उत्तर की जांच करने के लिए इस पद्धति का उपयोग पिछले एक से कर सकते हैं।
    • बुनियादी विचार दोनों समीकरणों को रेखांकित करना है, जिस बिंदु पर वे एक दूसरे को छेदते हैं। मूल्यों x और y, इस बिंदु पर, हमें एक्स का मान और समीकरणों की प्रणाली में y का मान दिया जाएगा।
  • दो चर के साथ बीजीय समीकरणों के समाधान सिस्टम नाम से चित्र चरण 16
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    Y के लिए दोनों समीकरणों को हल करें दो समीकरण अलग रखते हुए, "y = __x + __" प्रारूप में प्रत्येक समीकरण को बदलने के लिए बीजगणित का उपयोग करें। उदाहरण के लिए:
    • आपका पहला समीकरण है 2x + y = 5. इसे बदलने के लिए वाई = -2x + 5.
    • इसका दूसरा समीकरण है -3x + 6 सा = 0. इसे चालू करें 6 य = 3x + 0, इसे सरल बनाने, अंत में, को y = ½x + 0.
    • यदि दोनों समीकरण समान होते हैं, पूरी रेखा एक चौराहे होगी लिखना अंतहीन समाधान.
  • दो चर के साथ बीजीय समीकरणों के समाधान प्रणालियों का शीर्षक चित्र 17
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    समन्वय अक्षों को निकालें ग्राफ पेपर के एक टुकड़े पर, एक ऊर्ध्वाधर "y- अक्ष" और एक क्षैतिज "एक्स-अक्ष" बनाएं। उस बिंदु से शुरू करना जहां दोनों एक दूसरे को छेदते हैं, नंबर 1, 2, 3, 4, आदि को लेबल करें। y- अक्ष को ऊपर ले जाकर और फिर एक्स-अक्ष पर दाईं ओर इस प्रक्रिया को दोहराएं। नंबर -1, -2, आदि लेबल करें y- अक्ष नीचे और फिर एक्स-अक्ष पर बाईं तरफ
    • यदि आपके पास कोई चेक-आउट पेपर नहीं है, तो यह सुनिश्चित करने के लिए एक शासक का उपयोग करें कि संख्या उतना ही समान है।
    • यदि आप बड़े या दशमलव संख्या का उपयोग कर रहे हैं, तो आपको अपने चार्ट पर एक अलग पैमाने का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है (उदाहरण के लिए, 10, 20, 30 या 0.1, 0.2, 0.3, 1, 2, 3 के स्थान पर)
  • दो चर के समापन वाले बीजीय समीकरणों के समाधान प्रणालियों का शीर्षक चित्र 18
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    प्रत्येक पंक्ति के लिए मान y ड्रा। एक बार आपके प्रारूप में एक समीकरण होने के बाद वाई = __x + __, यह बिंदु को चित्रित करके ग्राफ़िक रूप से प्रतिनिधित्व करना संभव होगा जहां रेखा y- अक्ष को पार करती है। यह हमेशा उस समीकरण में अंतिम संख्या के बराबर y मान होगा।
    • हमारे पिछले उदाहरणों में, एक पंक्ति (वाई = -2x + 5) मूल्य में y अक्ष को पार करता है 5. अन्य (y = ½x + 0) मूल्य पार 0.
      • ये चार्ट में अंक (0.5) और (0,0) होंगे।
    • दो पंक्तियों के लिए यदि संभव हो तो अलग-अलग रंगों के पेन्सिल या कलम का उपयोग करें
  • इमेज शीर्षक से बीजीय समीकरणों के समाधान सिस्टम जिसमें दो चर शामिल हैं चरण 1 9
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    लाइनों को जारी रखने के लिए सीधी रेखा का उपयोग करें प्रारूप में वाई = __x + __, एक्स से आगे की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है तिरछा लाइन का प्रत्येक बार x 1 से बढ़ता है, मान y लाइन द्वारा दर्शाया गया राशि से बढ़ता है जब एक्स = 1 (वैकल्पिक रूप से, x = 1 समीकरण डालने और y के लिए हल) प्रत्येक पंक्ति के लिए ग्राफ, पर बात आकर्षित करने के लिए इस जानकारी का उपयोग करें।
    • हमारे उदाहरण में, वाई = -2x + 5 एक स्लॉड वैल्यू लाइन है -2. एक्स = 1 पर, रेखा नीचे 2 बिंदु से जहां x = 0. रेखा (0.5) और (1.3) के बीच रेखा खंड ड्रा।
    • लाइन y = ½x + 0 एक स्लॉड वैल्यू लाइन है साढ़े. एक्स = 1 पर, रेखा बढ़ जाता है बिंदु से x आधे x = 0. रेखा (0,0) और (1, ½) के बीच रेखा से रेखा खींचें।
    • यदि रेखाएं एक समान इच्छुक रेखा है, वे कभी भी पार नहीं करेंगे, अर्थात्, समीकरणों की प्रणाली को कोई प्रतिक्रिया नहीं है। लिखना कोई समाधान नहीं.
  • दो चर के साथ बीजीय समीकरण के समाधान सिस्टम शीर्षक चरण 20
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    लाइनों का प्रतिनिधित्व करना जारी रखें जब तक कि वे एक दूसरे को छेद नहीं देते। बंद करो और अपने चार्ट को देखें अगर लाइनें पहले से पार कर चुकी हैं, तो अगले चरण पर जाएं। अन्यथा, वे अब जो प्रतिनिधित्व करते हैं उसके आधार पर निर्णय लें
    • अगर लाइन एक दूसरे की ओर बढ़ रही है, तो उस दिशा में अंक डालना जारी रखें।
    • यदि लाइनें एक दूसरे से दूर हो रही हैं, तो वापस जाएं और डेटा को विपरीत दिशा में डालें, x = 1 से शुरू करें।
    • अगर लाइनें नजदीक नहीं हैं, तो आगे बढ़ने की कोशिश करें और एक्सरे = 10 जैसे सबसे ज्यादा अंक की गणना करें
  • दो चर के साथ बीजीय समीकरणों के समाधान सिस्टम नाम से चित्र चरण 21
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    चौराहे पर जवाब पता लगाएँ एक बार दोनों पंक्तियां एक दूसरे को छेदते हैं, उस बिंदु पर एक्स और वाई मान आपकी समस्याओं का उत्तर होगा। यदि आप भाग्यशाली हैं, तो समाधान एक पूर्णांक होगा उदाहरण के लिए, हमारे उदाहरणों में, दो पंक्तियों में छलनी है (2.1), तो हमारा जवाब है x = 2 और y = 1. समीकरणों की कुछ प्रणालियों में, रेखाएं दो पूर्णांक के बीच के मूल्य पर एक दूसरे को छिद्रित करती हैं, और जब तक कि ग्राफ अत्यंत सटीक न हो, यह निर्धारित करना मुश्किल होगा कि वह चौराह कहाँ होगा यदि ऐसा होता है, तो आप एक प्रतिक्रिया लिख ​​सकते हैं जैसे "एक्स 1 और 2 के बीच है" या अधिक सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापन या विलोपन विधि का उपयोग करें।

    • युक्तियाँ

    • आप जवाब वापस मूल समीकरणों में दर्ज करके अपना काम देख सकते हैं। यदि वे सही हैं (उदाहरण के लिए, 3 = 3), तो उत्तर सही है।
    • उन्मूलन की पद्धति में, आपको कभी-कभी किसी ऋणात्मक संख्या से एक समीकरण को एक चर को रद्द करने में सक्षम होना होगा।

    चेतावनी

    • इन विधियों का उपयोग नहीं किया जा सकता है, यदि एक्सपीनेंट के लिए उठाए गए एक चर एक्स के मामले में है2. इस प्रकार के समीकरणों के बारे में अधिक जानकारी के लिए, दो वैरिएबल वाले द्विघात समीकरणों को कारक बनाने के लिए एक मार्गदर्शिका देखें।
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