कैसे एक हाइपरबोला के Asymptotes के समीकरणों को ढूँढें

हाइपरबोला के असिम्पटोट्स वह रेखाएं हैं जो अपने केंद्र से गुजरती हैं। हाइपरबोले एसिम्पटोट्स के बहुत करीब आता है, लेकिन कभी भी उन्हें नहीं पहुंचता है Asymptotes की गणना करने के लिए दो अलग-अलग दृष्टिकोण हैं इस अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए दोनों का इस्तेमाल करना सीखें।

सामग्री

चरणों

विधि 1फैक्टरिंग
विधि 2मूल्य का पता लगाना y

युक्तियाँ
चेतावनी

चरणों

विधि 1
फैक्टरिंग

हाइपरबोला चरण 1 के Asymptotes के समीकरण का शीर्षक शीर्षक वाली छवि

अपने मानक रूप में हाइपरबोला समीकरण लिखें। आइए एक सरल उदाहरण के साथ शुरू करें: इसके मूल के केंद्र के साथ एक उच्च अंक इन hyperboles के लिए, समीकरण का मानक रूप है ^{एक्स²}/_² - ^y²/_ख² = 1 क्षैतिज hyperboles के लिए या ^y²/_ख² - ^{एक्स²}/_² = 1 ऊर्ध्वाधर hyperboles के लिए याद रखें कि एक्स और y चर रहे हैं, जबकि और ख स्थिर (साधारण संख्या) हैं

उदाहरण 1: ^{एक्स²}/₉ - ^y²/₁₆ = 1
कुछ पाठ्यपुस्तकों और शिक्षकों की स्थिति बदलती है और ख इन समीकरणों में। समझने के लिए समीकरण का पालन करें कि क्या हो रहा है। यदि आप समीकरणों को याद करते हैं, तो आप एक अलग धारणा से निपटने के लिए तैयार नहीं होंगे।

हाइपरबोला चरण 2 के Asymptotes के समीकरणों का पता लगाएं शीर्षक वाला छवि

समीकरण को एक के बजाय शून्य पर सेट करें यह नया समीकरण asymptotes दोनों का प्रतिनिधित्व करता है, हालांकि उन्हें अलग करने के लिए थोड़ी अधिक काम की आवश्यकता है।

उदाहरण 1: ^{एक्स²}/₉ - ^y²/₁₆ = 0

हाइपरबोला चरण 3 के Asymptotes के समीकरणों का पता लगाएं शीर्षक वाला चित्र

नए समीकरण का फैक्टर समीकरण के बाईं ओर दो उत्पादों में फैक्टर करें। यदि आपको अपनी याददाश्त को ताज़ा करने की ज़रूरत है कि कैसे कारक बनाने के बारे में, [बीजगणित समीकरण कारक यहां क्लिक करें], या इसके अनुसरण का पालन करें उदाहरण 1:

हम इस रूप में एक समीकरण के साथ समाप्त होगा (__ ± __) (__ ± __) = 0
पहले दो शब्दों को प्रपत्र में गुणा किया जाना चाहिए ^{एक्स²}/₉, फिर वर्गमूल की गणना करें और इन स्थानों में लिखें: (^एक्स/₃ __ ±) (^एक्स/₃ ±)) = 0
इसी प्रकार, के वर्गमूल की गणना ^y²/₁₆ और इसे दो शेष रिक्त स्थान में रखें: (^एक्स/₃ ± ^y/₄) (^एक्स/₃ ± ^y/₄) = 0
चूंकि कोई अन्य शर्तें नहीं हैं, एक राशि और एक शून्य चिह्न लिखिए ताकि अन्य शब्दों को गुणा कर दिया जाए, जब उन्हें गुणा किया जाए: (^एक्स/₃ + ^y/₄) (^एक्स/₃ - ^y/₄) = 0

हाइपरबोला चरण 4 के Asymptotes के समीकरणों का पता लगाएं शीर्षक वाला चित्र

कारकों को अलग करें और खोजें y. समेकित समीकरणों को इकट्ठा करने के लिए, दो कारकों को अलग करें और शर्तों के मूल्यों को ढूंढें y.

उदाहरण 1: जैसे (^एक्स/₃ + ^y/₄) (^एक्स/₃ - ^y/₄) = 0, हम जानते हैं कि ^एक्स/₃ + ^y/₄ = 0 और ^एक्स/₃ - ^y/₄ = 0
फिर से लिखना ^एक्स/₃ + ^y/₄ = 0 → ^y/₄ = - ^एक्स/₃ → वाई = - ^4x/₃
फिर से लिखना ^एक्स/₃ - ^y/₄ = 0 → - ^y/₄ = - ^एक्स/₃ → y = ^4x/₃

हाइपरबोला चरण 5 के Asymptotes के समीकरण खोजें

अधिक कठिन समीकरण के साथ एक ही प्रक्रिया करने की कोशिश करें। हम सिर्फ मूल पर केन्द्रित हाइपरबोले के लिए asymptotes पाया है। (एच, के) पर केंद्र के साथ एक hyperboles के रूप में एक समीकरण है ^{(एक्स - ज)²}/_² - ^{(वाई - ट)²}/_ख² = 1 या रूप में ^{(वाई - ट)²}/_ख² - ^{(एक्स - ज)²}/_² = 1. आप उन्हें ऊपर वर्णित एक ही फैक्टरिंग विधि का बिल्कुल उपयोग कर सकते हैं। बस पदों (एक्स - एच) और (वाई - कश्मीर) अंतिम चरण तक अखंड रहें।

उदाहरण 2: ^{(एक्स - 3)²}/₄ - ^{(y + 1)²}/₂₅ = 1
समीकरण को शून्य पर सेट करें और इसे प्राप्त करने के लिए महत्व का निर्धारण करें:
(^{(एक्स - 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅) (^{(एक्स - 3)}/₂ - ^{(y + 1)}/₅) = 0
प्रत्येक कारक अलग करें और जब तक आप asymptote समीकरण नहीं मिलते खाते को हल करें:
^{(एक्स - 3)}/₂ + ^{(y + 1)}/₅ = 0 → वाई = -⁵/₂एक्स + ¹³/₂
(^{(एक्स - 3)}/₂ - ^{(y + 1)}/₅) = 0 → y = ⁵/₂एक्स - ¹⁷/₂

विधि 2
मूल्य का पता लगाना y

हाइपरबोला चरण 6 के असिम्पटोट्स के समीकरण खोजें शीर्षक वाला चित्र

हाईबोर्बोला के समीकरण को y शब्द के साथ लिखें² बाईं तरफ यह विधि उपयोगी है अगर आपके पास समीकरण है जो वर्ग के रूप में है हालांकि यह हाइपरबोल्स के मानक प्रारूप में है, इस दृष्टिकोण से आपको एसिम्प्टोटेस की प्रकृति में अधिक जानकारी मिल सकती है। समीकरण को पुनर्गठन करें ताकि शब्द y² या (वाई-कश्मीर)² शुरू करने के लिए एक तरफ खड़े हो जाओ

उदाहरण 3: ^{(y + 2)²}/₁₆ - ^{(एक्स + 3)²}/₄ = 1
शर्तें जोड़ें एक्स दोनों पक्षों पर, फिर 16 से प्रत्येक पक्ष गुणा करें:
(y + 2)² = 16 (1 + ^{(एक्स + 3)²}/₄)
सरल बनाएं:
(y + 2)² = 16 + 4 (एक्स + 3)²

हाइपरबोला चरण 7 के Asymptotes के समीकरणों का पता लगाएं शीर्षक वाला चित्र

हर तरफ वर्गमूल को बाहर निकालें वर्गमूल की गणना करें, लेकिन सही पक्ष को आसान बनाने की कोशिश न करें याद रखें कि वर्गमूल की गणना में, दो संभावित समाधान हैं: एक सकारात्मक और एक नकारात्मक। उदाहरण के लिए: -2 * -2 = 4, तब √4 बराबर -2 या 2 हो सकता है।) दोनों समाधानों को इंगित करने के लिए प्लस या माइनस "±" चिह्न का उपयोग करें

√ ((y + 2)²) = √ (16 + 4 (एक्स + 3)²)
(y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3)²)

हाइपरबोला चरण 8 के Asymptotes के समीकरणों का पता लगाएं शीर्षक वाला चित्र

एक asymptote की परिभाषा की समीक्षा करें यह महत्वपूर्ण है कि आप अगले चरण में आगे बढ़ने से पहले इसे समझें। हाइपरबोला की असीम्पट एक रेखा है जिसमें हाइपरबोला चरण के करीब और करीब आता है जहां का मूल्य एक्स बढ़ जाती है। एक्स वास्तव में यह asymptote तक पहुंच सकता है, लेकिन अगर हम अधिक से अधिक मूल्यों के लिए हाइपरबोला का पालन करते हैं एक्स, हम asymptote के करीब और करीब मिल जाएगा

हाइपरबोला चरण 9 के Asymptotes के समीकरणों का पता लगाएं शीर्षक वाला चित्र

समीकरण को अधिक के मूल्यों को समायोजित करें एक्स. चूंकि हम asymptote समीकरण, मूल्य का पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं एक्स यह केवल हमारे हित में है अगर इसके बड़े मूल्य हैं ("अनन्त पहुंच")। यह हमें समीकरण में कुछ स्थिरांकों को अनदेखा करने की अनुमति देता है, क्योंकि वे इस शब्द के संबंध में बहुत छोटा हिस्सा योगदान करते हैं एक्स. जब एक्स 99 बिलियन (उदाहरण के लिए) में है, संख्या 3 को जोड़कर यह इतना छोटा है कि हम इसे अनदेखा कर सकते हैं।

समीकरण में (y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3)²), जबकि जब एक्स अनन्त दृष्टिकोण, तब 16 अप्रासंगिक हो जाता है
(y + 2) = के बारे में √ (4 (x + 3)²) के बड़े मूल्यों के लिए एक्स.

हाइपरबोला चरण 10 के असिम्पटोट्स के समीकरण खोजें शीर्षक वाला चित्र

के मूल्य की गणना y asymptote के दो समीकरणों को खोजने के लिए अब जब आप निरंतर से छुटकारा पा चुके हैं, तो बस वर्गमूल को सरल बनाएं। की गणना y जवाब पाने के लिए दो भिन्न समीकरणों में प्रतीक ± को विभाजित करना याद रखें, एक "+" चिह्न के साथ और दूसरे को ";" चिन्ह के साथ।

वाई + 2 = ± √ (4 (x + 3) ^ 2)
और + 2 = ± 2 (एक्स + 3)
वाई + 2 = 2x + 6 और y + 2 = -2x-6
y = 2x + 4 और y = -2x-8

युक्तियाँ

यह कभी नहीं भूलें कि हाइपरबोले का एक समीकरण और एसिम्प्टोट्स की अपनी जोड़ी हमेशा निरंतर से अलग होती है।
एक आयताकार हाइपरबोला एक है जहां a = b = constant = c।
उनके साथ काम करते समय, आपको पहले इसे अपने डिफ़ॉल्ट रूप में परिवर्तित करना होगा, और फिर असिम्पटोट ढूंढना होगा।