पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग कैसे करें

पाइथागॉरियन प्रमेय का वर्णन त्रिकोण आयत के पक्षों की इतनी सुंदर और व्यावहारिक लंबाई है कि आज तक व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उन्होंने कहा है कि किसी भी सही त्रिभुज के लिए, पैरों के वर्गों का योग, के वर्ग के बराबर है कर्ण

सामग्री

चरणों

विधि 1एक आयताकार त्रिभुज की स्कीथस ढूँढना
विधि 2एक कार्टेशियन विमान पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करना

युक्तियाँ

. दूसरे शब्दों में, लंबाई के सीधा पक्ष के साथ त्रिकोण आयताकार के लिए और ख और एक लंबा कर्ण ग, ² + ख² = सी². पायथागॉरियन प्रमेय यह बुनियादी ज्यामिति के मौलिक स्तंभों में से एक है, इस प्रकार कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों होने - प्रमेय के साथ, उदाहरण के लिए, एक निर्देशांक समतल पर दो अंक के बीच की दूरी को खोजने के लिए आसान है।

चरणों

विधि 1
एक आयताकार त्रिभुज की स्कीथस ढूँढना

सुनिश्चित करें कि यह एक आयताकार त्रिभुज है पाइथागोरस प्रमेय, समकोण त्रिकोण के लिए ही लागू होता है तो यह है कि आगे बढ़ने से पहले, यह महत्वपूर्ण है सुनिश्चित करने के लिए है कि प्रश्न में त्रिकोण आयत प्रकार की परिभाषा फिट बैठता है। सौभाग्य से, वहाँ केवल एक ही योग्यता कारक है - होने के लिए एक सही त्रिकोण, त्रिकोण वास्तव में 90 डिग्री के कोण होना चाहिए।

एक दृश्य शॉर्टकट के रूप में, आयताकार कोण अक्सर गोल "वक्र" के बजाय, एक छोटे वर्ग के साथ चिह्नित होते हैं, जो उन्हें इस प्रकार की पहचान करता है अपने त्रिकोण के कोने में उस विशेष चिह्न के लिए देखो

अपने त्रिभुज के पक्षों को नामित करें, जैसे ए, बी, और सी। पायथागॉरियन प्रमेय में, वेरिएबल्स और ख पैरों को देखें जो सही कोण पर हैं, जबकि चर ग हाइपोटिन्यूज़ को संदर्भित करता है - सबसे बड़ा पक्ष, हमेशा सही कोण के विपरीत। इसलिए, आरंभ करने के लिए, अपने त्रिकोण के छोटे पक्षों को नाम दें और ख (कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा शीर्षक जाता है) और चर का कर्ण कर्ण दें ग.

निर्धारित करें कि किन किनारा (त्रों) आप जानना चाहते हैं। पाइथागॉरियन प्रमेय गणितज्ञों को किसी भी की लंबाई की खोज करने की अनुमति देता है एक एक सही त्रिकोण के पक्ष, अन्य की लंबाई प्रदान की दो पक्षों। प्रश्न में किन पक्ष की एक अज्ञात लंबाई निर्धारित करें - , ख और / या ग. यदि केवल एक तरफ की लंबाई अज्ञात है, तो आप आगे बढ़ सकते हैं।

कहते हैं, उदाहरण के लिए, पता कर्ण 5 और दूसरी तरफ से एक 3 की लंबाई है की लंबाई है, लेकिन हम तीसरे पार्श्व की लंबाई के बारे में सुनिश्चित नहीं हैं। इस मामले में, हम जानते हैं कि हम तीसरे पक्ष की लंबाई की खोज में समस्या हल कर रहे हैं, और एक बार हम जानते हैं कि दूसरे दो की लंबाई, हम आगे बढ़ सकते हैं! हम निम्नलिखित चरणों में इस उदाहरण पर वापस जाएँगे।
यदि की लंबाई दो पक्षों के अज्ञात हैं, आपको पाइथागॉरियन प्रमेय के साथ, एक और पक्ष की लंबाई निर्धारित करनी होगी। बेसिक त्रिकोणमिति फ़ंक्शंस यदि आप त्रिकोण के तीव्र कोणों में से किसी एक का मान जानते हैं तो इस मामले में बहुत मदद की जा सकती है

समीकरण में दो ज्ञात मान दर्ज करें। अपने मूल्यों को समीकरण में त्रिकोण के किनारों की लंबाई में रखें ² + ख² = सी². याद रखें कि और ख कैथिथ हैं, और ग, हाइपोटिन्यूज

हमारे उदाहरण में, हम एक तरफ की लंबाई और कर्ण (3 और 5) जानते हैं, इसलिए हम अपना समीकरण लिखेंगे 3² + ख² = 5².

वर्गों की गणना करें समीकरण को हल करने के लिए, ज्ञात पक्षों में से प्रत्येक का वर्ग लेना शुरू करें। वैकल्पिक रूप से, अगर आपको लगता है कि यह आसान है, तो आप एक्सपोनेंट प्रारूप में पक्षों की लंबाई को छोड़ सकते हैं, बाद में उन्हें बढ़ा सकते हैं।

हमारे उदाहरण में, हमारे पास 3 और 5 के वर्ग होंगे, अर्थात, 9 और 25, क्रमशः। हम अपने समीकरण को फिर से लिख सकते हैं 9 + बी² = 25.

समीकरण के एक तरफ अपने अज्ञात चर को अलग करें। यदि आवश्यक हो, तो समीकरण के एक तरफ और दूसरे पर दो वर्गों को अनजान चर रखने के लिए बुनियादी बीजीय संचालन का उपयोग करें यदि आप कर्ण का पता लगाना चाहते हैं, ग यह पहले से ही अलग होगा, इसलिए कोई अतिरिक्त कदम की आवश्यकता नहीं होगी।

हमारे उदाहरण में, वर्तमान समीकरण है 9 + बी² = 25. अलग करने के लिए ख², हम समीकरण के दोनों किनारों से 9 घटाते हैं। यह हमारे साथ छोड़ देता है ख² = 16.

समीकरण के दोनों किनारों का वर्गमूल निकालें अब आपके पास समीकरण के एक तरफ एक उच्च चर वर्ग होगा, और दूसरे पर एक नंबर। अज्ञात पक्ष की लंबाई को खोजने के लिए बस दोनों पक्षों के वर्गमूल को खींचें।

हमारे उदाहरण में, ख² = 16, दोनों पक्षों की वर्गमूल निकालने से हमें परिणाम मिलता है बी = 4. इसलिए, हम कह सकते हैं कि अज्ञात पैर की लंबाई बराबर है 4.

असली आयताकार त्रिकोण के पक्ष को खोजने के लिए पायथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। इस प्रमेय को इतने व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला कारण लगभग असीमित संख्या में व्यावहारिक अनुप्रयोग है। वास्तविक जीवन स्थितियों में समकोण त्रिकोण है, जिसमें दो वस्तुओं या लाइनों एक सही कोण में हैं और (क) तृतीय पक्ष (क) सही कोण के साथ तिरछे खिंचाव पहचान करने के लिए जानें - इस तरह से, आप प्रमेय का उपयोग कर सकते पाइथागोरस की एक तरफ की लंबाई की खोज करने के लिए यदि अन्य दो ज्ञात हैं

थोड़ा और अधिक कठिनाई के साथ एक वास्तविक जीवन परीक्षण करते हैं। एक सीढ़ी एक इमारत पर टिकी हुई है इसका आधार दीवार के आधार से 5 मीटर की दूरी पर है। इमारत की दीवार के संबंध में यह 20 मीटर ऊंचा पहुंचता है। सीढ़ी कितनी देर है?
वाक्य "दीवार के आधार से 5 मीटर की दूरी पर"और"दीवार के संबंध में 20 मीटर ऊंचा"हमें त्रिकोण के पैरों की लंबाई की तरह संकेत दें एक बार दीवार और जमीन (संभवतया) एक सही कोण पर झूठ, और सीढ़ी दीवार के खिलाफ तिरछे टिकी हुई है, हम इस व्यवस्था को सही कोण के त्रिकोण के रूप में सोच सकते हैं ए = 5 और बी = 20. सीढ़ी की लंबाई का कर्ण कर्ण है, ग हमारे अज्ञात हमें पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें:
² + ख² = सी²
(5)² + (20)² = सी²
25 + 400 = सी²
425 = सी²
√ (425) = सी
सी = 20.6
- सीढ़ी की अनुमानित लंबाई बराबर है 20.6 मीटर.

विधि 2
एक कार्टेशियन विमान पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करना

एक कार्टेशियन विमान पर दो बिंदु सेट करें पेटेगोर्सियन प्रमेय को आसानी से एक कार्टेशियन विमान में दो बिंदुओं के बीच एक सीधी रेखा की दूरी की गणना में इस्तेमाल किया जा सकता है। आपको केवल जानने की ज़रूरत है निर्देशांक एक्स और y किसी भी दो अंक आमतौर पर, इन निर्देशांक को प्रारूप में क्रमबद्ध जोड़े के रूप में लिखा जाता है (एक्स, वाई).

इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी जानने के लिए, हम उनमें से प्रत्येक को सही त्रिकोण के टिका रहे हैं। इस तरह, पक्षों की लंबाई को खोजने में आसान होगा और ख, गणना जारी रखने के लिए ग, हाइपोटिन्यूज, जो दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है।

एक विमान पर दो बिंदुओं को चित्रित करें एक विशिष्ट कार्तीय विमान में, प्रत्येक बिंदु के लिए (एक्स, वाई), एक्स हमें क्षैतिज अक्ष पर एक समन्वय देता है, जबकि y ऊर्ध्वाधर अक्ष पर एक समन्वय का प्रतिनिधित्व करता है आप उन्हें एक योजना में प्रतिनिधित्व करने के बिना दो अंक के बीच की दूरी का पता लगा सकते हैं, लेकिन इस प्रकार वहाँ कोई दृश्य संदर्भ है कि एक गारंटी नहीं है कि इस सवाल का जवाब समझ में आता है के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता हो जाएगा।

त्रिकोण के पैरों की लंबाई का पता लगाएं। दो बिंदुओं का उपयोग कर्ण के निकट शिरोबिंदु के रूप में करना, पक्षों की लंबाई ढूंढना और ख त्रिकोण का आप इसे नेत्रहीन, विमान में, या सूत्रों के माध्यम से कर सकते हैं | x₁ - एक्स₂| क्षैतिज पक्ष और | y₁ - y₂| खड़ी करने के लिए, जहां (एक्स₁, y₁) पहला बिंदु है और (एक्स₂, y₂), दूसरा

मान लीजिए कि दो बिंदु हैं (6, 1) और (3, 5). त्रिभुज के क्षैतिज पक्ष की लंबाई के बराबर है:
- | x₁ - एक्स₂|
- | 3 - 6 |
- | -3 | = 3
ऊर्ध्वाधर पक्ष की लंबाई के बराबर है:
- | y₁ - y₂|
- | 1 - 5 |
- | -4 | = 4
इस तरह, हम कह सकते हैं कि, हमारे त्रिभुज आयत में, ए = 3 और बी = 4.

हाइपोटिन्यूज के मूल्य को जानने के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करें दो बिंदुओं के बीच की दूरी त्रिकोण का कर्ण है जिसका पक्ष अभी खोजा गया है। पायथागॉरियन प्रमेय का प्रयोग आम तौर पर परिभाषित करके कर्ण को खोजने के लिए करें पहले पक्ष की लंबाई के रूप में, और ख, दूसरे की तरह

अंक के साथ हमारे उदाहरण में (3, 5) और (6, 1), पैरों की हमारी लंबाई बराबर होती है 3 और 4, ताकि हम निम्नलिखित तरीके से काल्पनिक पता लगा सकें:
- (3)² + (4)² = सी²
- सी = √ (9 + 16)
- सी = √ (25)
- सी = 5
  - अंकों के बीच की दूरी (3, 5) और (6, 1) बराबर है 5.

युक्तियाँ

कर्ण हमेशा होता है:
- सही कोण के साथ स्थित (छूने के बिना) -
- आयत का सबसे बड़ा पक्ष-
- के लिए विकल्प ग पायथागॉरियन प्रमेय में
अपने संकल्प को हमेशा दोहराएं याद रखें अगर कोई प्रतिक्रिया गलत प्रतीत होती है, तो कृपया पुन: प्रयास करें।
एक अन्य महत्वपूर्ण जांच - सबसे बड़ा पक्ष बड़ा कोण के विपरीत होगा, और छोटे किनारे, छोटे कोण के विपरीत।
यदि त्रिकोण एक आयत नहीं है, तो आपको 2 पैरों की लंबाई की तुलना में अधिक जानकारी की आवश्यकता होगी।
डायग्राम सही मूल्यों को सेट करने के लिए महत्वपूर्ण हैं , ख और ग. यदि आप कथन के साथ कोई समस्या हल कर रहे हैं, तो सुनिश्चित करें कि पहले एक चित्र में टेक्स्ट का अनुवाद करें।
यदि आपके पास केवल एक उपाय है, तो पायथागॉरियन प्रमेय आपकी सहायता नहीं करेगा। इसके बजाय त्रिकोणमितीय डेटा का उपयोग करने की कोशिश करें (सेन, क्योंकि, तन) या अनुपात 30-60-90 / 45-45-90.