एक सेट की ऊपरी और निचली सीमाओं को परिभाषित करना

वास्तविक संख्या का एक सेट एस

सामग्री

चरणों

भाग 1मूल बातें समझें
भाग 2किसी सेट की ऊपरी और निचली सीमा निर्धारित करें

युक्तियाँ
सूत्रों और कोटेशन

यह सीमित (ऊपरी और निचले) माना जाता है, यदि यह परिमित है और सेट के अन्य सभी तत्वों के बराबर या उसके बराबर तत्व है, तो सेट में सभी अन्य के बराबर या उसके बराबर एक तत्व के अलावा। वास्तविक संख्याओं के गैर खाली सेट की ऊपरी (निचली) और निचली (निचली) सीमाओं को निर्धारित करने के लिए जानना चाहते हैं? पहला कदम शुरू करें

चरणों

भाग 1
मूल बातें समझें

काम आउट ऊपरी और लोअर बाउंस नाम का चित्र चरण 1

ऊपरी बाउंड की अवधारणा को समझें। होना एस वास्तविक संख्या का एक सेट, यदि कोई हो एस एक वास्तविक संख्या ∈ आर ऐसा है कि इस सबसेट का कोई भी तत्व कम या उससे कम है , हम कहते हैं कि यह सेट सबसे ऊपर सीमित है गणितीय, हम इसे निम्नलिखित तरीके से व्यक्त कर सकते हैं:एक्स ∈एस ⇒एक्स ≤ . यदि सेट एस की ऊपरी सीमा (प्रमुख) नहीं है, हम कहते हैं कि यह सबसे ऊपरी है।

इस बीच में सबसे छोटा तत्व एस (यदि यह मौजूद है) को सर्वोच्च कहा जाता है और इसका समर्थन किया जाता हैएस.
अगर एक सेट एस कम से कम एक प्रमुख है, फिर इस संख्या से अधिक अन्य अनंत तत्व होंगे जो कि प्रमुख क्षेत्रों के रूप में वर्गीकृत होंगे।

वर्क आउट ऊपरी और लोअर बाउंस शीर्षक वाले चित्र चरण 2

निचले बाउंड की अवधारणा को समझें। होना एस असली संख्या का एक सेट, यदि कोई हो एस एक वास्तविक संख्या बी ∈ आर ऐसा है कि इस उपशीर्ष का कोई भी तत्व उसके बराबर या उसके बराबर है बी, हम कहते हैं कि यह सेट कम घिरा है गणितीय, हम इसे निम्नलिखित तरीके से व्यक्त कर सकते हैं:एक्स ∈एस ⇒एक्स ≥बी. यदि सेट एस इसमें कम सीमा (मामूली) नहीं है, हम कहते हैं कि यह कमजोर नहीं है

पूरे के अल्पसंख्यकों में सबसे बड़ा तत्व एस (यदि यह मौजूद है) को कम से कम बुलाया जाता है और उसे आईएनएफ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता हैएस.
अगर एक सेट एस कम से कम एक कम है, फिर इस संख्या से छोटे अन्य अनंत तत्व होंगे जो कि अल्पसंख्यकों के रूप में भी वर्गीकृत किए जाएंगे।

भाग 2
किसी सेट की ऊपरी और निचली सीमा निर्धारित करें

वर्क आउट ऊपरी और लोअर बाउंस शीर्षक वाले चित्र चरण 3

सुनिश्चित करें कि विधानसभा सीमित शीर्ष है होना एस वास्तविक संख्या का एक सेट जहां ∃ ∈ आर जैसे कि ∀ एक्स ∈एस ⇒एक्स ≤ , हम कहते हैं कि एक समग्र नेता है एस. दूसरे शब्दों में, अगर कोई वास्तविक संख्या है जैसे कि सेट से कोई भी चुना गया नंबर एस उससे कम या बराबर है, तो हम यह कह सकते हैं कि यह सेट सबसे ऊपर है

उदाहरण के लिए, मान लें कि आपके पास वास्तविक संख्या का निम्न सेट है, एस: {1, -1 / 4, 1/9, 1/16 । ।}। हम देख सकते हैं कि एक वास्तविक संख्या है उस सेट में 1 के बराबर और किसी भी अन्य तत्व का एस इससे कम या उसके बराबर है। इसलिए, हम यह कह सकते हैं कि यह सेट बेहतर रूप से सीमित है।

वर्क आऊट ऊपरी और लोअर बाउंस शीर्षक वाले चित्र चरण 4

सत्यापित करें कि विधानसभा कम है होना एस वास्तविक संख्या का एक सेट जहां ∃ बी ∈ आर जैसे कि ∀ एक्स ∈ एस ⇒एक्स ≥ बी, हम कहते हैं कि बी पूरे के एक नाबालिग है एस. दूसरे शब्दों में, अगर कोई वास्तविक संख्या है बी जैसे कि सेट से कोई भी चुना गया नंबर एस इसके बराबर या उसके बराबर है, तो हम यह कह सकते हैं कि यह सेट कमजोर है

उपरोक्त उदाहरण में, हम देख सकते हैं कि एक वास्तविक संख्या है बी उस सेट में -1 / 4 के बराबर और किसी भी अन्य तत्व का एस इसके बराबर या उसके बराबर है इसलिए, हम यह कह सकते हैं कि यह सेट कमजोर रूप से घिरा है

काम आउट ऊपरी और लोअर बाउंस नाम का चित्र चरण 5

सुनिश्चित करें कि सेट में सर्वोच्च है। यदि सेट के प्रमुख तत्वों के बीच एक मामूली तत्व है, तो यह एक सर्वोच्च कहा जाएगा और समर्थन द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाएगाएस.

उपरोक्त उदाहरण में, हम देख सकते हैं कि 1 से ऊपर किसी भी संख्या में वृद्धि हो सकती है - हालांकि, 1 उनमें से सबसे छोटी है इसलिए, 1 इस सेट का सर्वोच्च है: सुड़कनाएस = 1.

वर्क आउट ऊपरी और लोअर बाउंस शीर्षक वाले चित्र चरण 6

जांचें कि विधानसभा में न्यूनतम है यदि सेट के पाठकों के बीच एक बड़ा तत्व है, तो इसे कम से कम कहा जाएगा और इसे inf के रूप में प्रस्तुत किया जाएगाएस.

उपरोक्त उदाहरण में, हम देख सकते हैं कि 1/4 से छोटा कोई भी मामूली मामला हो सकता है, फिर भी -1/4 उनके बीच सबसे बड़ा है। इसलिए, 1/4 इस सेट का सबसे छोटा है: infएस = -1/4.

वर्क आऊट ऊपरी और लोअर बाउंस शीर्षक वाले चित्र चरण 7

सेट में सबसे बड़ा तत्व निर्धारित करें। एक नंबर एक सेट का सबसे बड़ा तत्व माना जाता है एस अगर ∈एस ⋀एक्स ∈एस ⇒एक्स ≤ . दूसरे शब्दों में, यदि हम एक निश्चित संख्या चुनते हैं सेट का और अन्य तत्वों के साथ इसकी तुलना करते हैं, अगर किसी अन्य तत्व का सेट कम से कम या उसके बराबर है , तो हम यह कह सकते हैं कि यह संख्या सेट का सबसे बड़ा तत्व है (अधिकतम कहा जाता है)।

उपरोक्त उदाहरण में, हम देख सकते हैं कि सेट का एक तत्व है जो इन शर्तों का पालन करता है: यह 1 नंबर है। इसलिए, 1 अधिकतम सेट है।

वर्क आउट ऊपरी और लोअर बाउंड्स शीर्षक से चित्र चरण 8

सेट में सबसे छोटा तत्व निर्धारित करें। एक नंबर ख एक सेट का सबसे छोटा तत्व माना जाता है एस अगर ख ∈एस ⋀एक्स ∈एस ⇒एक्स ≥ ख. दूसरे शब्दों में, यदि हम एक निश्चित संख्या चुनते हैं ख एक सेट का और अन्य तत्वों के साथ इसकी तुलना करें, यदि सेट के किसी भी अन्य मूल्य से अधिक या उसके बराबर है ख, तो हम यह कह सकते हैं कि यह संख्या सेट का सबसे छोटा तत्व है (न्यूनतम भी कहा जाता है)।

उपरोक्त उदाहरण में, हम देख सकते हैं कि सेट का एक तत्व है जो इन शर्तों का पालन करता है: यह संख्या -1 / 4 है इसलिए, -1/4 सेट का न्यूनतम है।

वर्क आउट ऊपरी और लोअर बाउंड्स शीर्षक से चित्र 9

सेट की ऊपरी और निचली सीमा निर्धारित करें। इसके सेट का सबसे बड़ा और सबसे छोटा तत्व क्रमशः ऊपरी और निचली सीमा होगी।

उपरोक्त उदाहरण में, हमारे पास एक सीमित सेट या तो ऊपरी (1) या निम्न (-1 / 4 के द्वारा) है

युक्तियाँ

अधिकतम और न्यूनतम तत्व को सेट के चरम के रूप में भी जाना जाता है।
अगर सर्वोच्च और सभी के कम से कम मौजूद हैं, तो वे हमेशा अद्वितीय होंगे। उपरोक्त और नीचे घिरे गैर-खाली सेट के सर्वोपरि और कम से कम का अस्तित्व पूर्णता के स्वयंसिद्ध द्वारा गारंटी है आर: यह स्वयंसिद्ध बताता है कि उपरोक्त किसी भी खाली-खाली सेट में सर्वोच्च नहीं है और यह कि कोई भी गैर खाली सेट कम घिरा हुआ बहुत छोटा है
एक विशेष सेट का सर्वोच्च और कम से कम इसका जरूरी हिस्सा नहीं है - यह एक ऐसा कारण है कि आपको अधिकतम सेट और न्यूनतम निर्धारित करने की आवश्यकता क्यों है।