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पहला परीक्षण करें प्रमेय कहता है कि यदि एक समारोह एफ (एक्स) की छवि सेट के तत्वों की अनंत राशि कनवर्ज होती है, तो इसकी सीमा शून्य हो जाती है फ़ंक्शन एफ (एक्स) = एक्स पर विचार करें2- चूंकि इसकी सीमा अनन्तता हो जाती है, इसकी छवि सेट के तत्वों का योग भिन्न हो जाएगा अब फ़ंक्शन एफ (एक्स) = 1 / एक्स- पर विचार करें जैसे इस मामले में सीमा शून्य हो जाती है, यह संसृत हो सकता है। यदि फ़ंक्शन की सीमा शून्य के बराबर नहीं है, तो हम स्वत: ही कह सकते हैं कि यह एक अलग श्रृंखला है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि फ़ंक्शन की सीमा शून्य के बराबर होती है, तो यह कोई गारंटी नहीं है कि यह संमिलित है: आगे की जांच सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है।
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पता करें कि क्या यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है यह एक बहुत सटीक और विश्वसनीय प्रमेय है, इसलिए इसे बिना भय के लिए लागू करें। एक ज्यामितीय श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति के अनंत शब्दों की श्रृंखला है और जिसका सूत्र है आरकश्मीर, जहां "कश्मीर" कोई वास्तविक संख्या है और "r" का मूल्य 1 से बड़ा है और 1 से कम है। ज्यामितीय श्रृंखला हमेशा अभिसरण होते हैं। यदि आप इस प्रकार की श्रृंखला का योग निर्धारित करना चाहते हैं, तो सूत्र का उपयोग करें 1 / (1-आर).
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पता करें कि क्या यह सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला है एक सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला फार्म में अनंत शब्दों की श्रृंखला है 1 / (एक्सपी), जहां "x" कोई वास्तविक संख्या है। प्रमेय कहता है कि यदि "पी" 1 से अधिक है, तो श्रृंखला परिवर्तित होती है - अगर "पी" 1 से कम या उसके बराबर है, तो श्रृंखला अलग है। पहला उदाहरण, एफ (एक्स) = 1 / एक्स का कार्य, इसलिए भिन्न है - जैसा कि 1 / x भी 1 / x के रूप में लिखा जा सकता है1, पी का मान 1 के बराबर होगा। समारोह एफ (एक्स) = 1 / एक्स के मामले में2, हम देख सकते हैं कि यह संक्रमित है, क्योंकि पी 2 के बराबर है (और हर तरह के एक्सपोनेंट) और इसलिए 1 से अधिक
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यदि उपर्युक्त प्रमेयों में से कोई भी काम नहीं करता है, तो निम्न परीक्षणों को लागू करने का प्रयास करें नीचे दिए गए परीक्षणों का उपयोग करने के बाद नीचे दिए गए परीक्षणों का उपयोग किया जाना चाहिए। यह कहना आसान नहीं है कि उनमें से किसी को पहले प्रयास करना चाहिए, हालांकि व्यवहार के साथ आप बेहतर निर्णय लेने में सक्षम होंगे। ध्यान रखें कि चुनने का कोई पूर्व-निर्धारित तरीका नहीं है।
- तुलना परीक्षण. सकारात्मक शब्दों के दो सेटों पर विचार करें, एक (एन) और बी (एन) यदि बी (एन) की अनंत राशि अभिसरण है और एक (एन) बी (एन) से कम (पर्याप्त बड़े एन के लिए) है, तो एक (एन) का योग भी संक्रमित है। इसी प्रकार, अगर बी (एन) की राशि भिन्न है और (एन) बी (एन) से अधिक है, तो ए (एन) का योग भी भिन्न है। एक उदाहरण के रूप में कार्य की श्रृंखला 2 / एक्स और 1 / एक्स की श्रृंखला लें। जैसा कि हम पहले से जानते हैं कि 1 / x भिन्न है और 2 / एक्स 1 / x से अधिक है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 2 / एक्स भी भिन्न है। यह विधि, संक्षेप में, यह निर्धारित करने के लिए पहले से ही एक ज्ञात श्रृंखला का उपयोग करने के लिए होती है कि कोई अन्य श्रृंखला रूपांतरण या अलग हो जाती है या नहीं।
- सीमा तुलना परीक्षण. यदि एक (एन) और बी (एन) सकारात्मक शब्दों की एक श्रृंखला है और अगर (एन) / बी (एन) की सीमा मौजूद है और शून्य से अधिक है, तो दोनों श्रृंखला एक बार अभिसरण या भिन्न होते हैं पिछले विधि की तरह, तुलना करने के लिए एक और श्रृंखला की आवश्यकता है आदर्श एक श्रृंखला का चयन करना है जिसका उच्चतम शक्ति प्रारंभिक श्रृंखला की उच्चतम शक्ति के समान है। यदि समस्या फ़ंक्शन श्रृंखला 1 / (x3+2x + 1), तो आप इसकी तुलना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, 1 / (x3)।
- अभिन्न परीक्षण. एक सकारात्मक समारोह पर विचार करें, और "x" से या 1. इसके बराबर अनंत श्रृंखला च (एन) संसृत है अगर च का अभिन्न (एक्स) existir- 1 और अनंत अगर यह अलग है के बीच, इस अभिन्न मौजूद नहीं है के लिए नीचे की ओर जारी । संक्षेप में, आपको फ़ंक्शन को एकीकृत करना चाहिए और फ़ंक्शन की सीमा को अनन्तता को निर्धारित करना चाहिए। अगर अभिन्न अस्तित्व में है, तो यह एक ऐसी श्रृंखला है, जो यह अस्तित्व में नहीं है, इसलिए यह बदलती है।
- वैकल्पिक श्रृंखला परीक्षण (का परीक्षण लाइबनिट्स). अगर एक (कश्मीर)> ए (कश्मीर + 1)> 0 (पर्याप्त रूप से बड़े के लिए) और (n) की सीमा शून्य के बराबर होती है, तो श्रृंखला (n) * (- 1)n संसृत है अधिक सरलीकृत तरीके से, यदि आपके पास एक वैकल्पिक श्रृंखला है, जो कि प्रत्येक अवधि में संकेत को बदलता है, फ़ंक्शन के वैकल्पिक भाग को समाप्त करता है और उस भाग की सीमा निर्धारित करता है जो बनी हुई है: यदि सीमा मौजूद है, तो श्रृंखला में परिवर्तित होता है
- कारण परीक्षण (का मानदंड d `Alembert). अनंत श्रृंखला ए (एन) और एक (एन + 1) पर विचार करें एक (एन + 1) / ए (एन) बनाओ और इस अभिव्यक्ति की सीमा निर्धारित करें सीमा मौजूद है, तो हम प्राप्त कर सकते हैं तीन अलग-अलग परिणाम: अगर सीमा 1 से कम है, तो श्रृंखला है (एन) यदि सीमा 1 से अधिक है, तो श्रृंखला (एन) divergente- है convergente- है थ्रेशोल्ड शून्य है, फिर परीक्षा अनिर्णीत है
- ये अभिसरण के मुख्य परीक्षण हैं यदि उनमें से कोई भी आपको निष्कर्ष तक पहुंचने की अनुमति नहीं देता है, तो यह एक संकेत है कि प्रश्न में समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है या आपने गलत अनुमान लगाया है। इन विधियों को भी शक्तियों की श्रृंखला, श्रृंखलाओं में लागू किया जा सकता है टेलर, आदि इन परीक्षणों को सही तरीके से उपयोग करना सीखना बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि कोई श्रृंखला सरल या नहीं है यह निर्धारित करने के लिए कोई सरल तरीके नहीं हैं।
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