गणित में किसी फ़ंक्शन की रेंज कैसे प्राप्त करें

फ़ंक्शन की श्रेणी संख्याओं का सेट है जो फ़ंक्शन उत्पादन कर सकता है। दूसरे शब्दों में, यह मूल्यों (y) का सेट होता है जिसे आप प्राप्त करते हैं, जब आप फ़ंक्शन के एक्स के सभी संभावित मूल्यों को जोड़ते हैं। एक्स के संभावित मूल्यों का यह सेट एक डोमेन कहा जाता है यदि आप जानना चाहते हैं कि फ़ंक्शन की श्रेणी कैसे खोजनी है, तो इन चरणों का पालन करें

सामग्री

चरणों

विधि 1फ़ंक्शन के एक सूत्र की सीमा को ढूँढना
विधि 2ग्राफ़ में फ़ंक्शन की श्रेणी ढूँढना
विधि 3रिश्ते से फ़ंक्शन की रेंज ढूँढना
विधि 4किसी समस्या में फ़ंक्शन के अंतराल को ढूंढना

युक्तियाँ
सूत्रों और कोटेशन

चरणों

विधि 1
फ़ंक्शन के एक सूत्र की सीमा को ढूँढना

सूत्र लिखें मान लें कि आप निम्न सूत्र के साथ काम कर रहे हैं: f (x) = 3 x ² + 6 x-2 इसका मतलब यह है कि जब आप समीकरण में किसी भी एक्स डालते हैं, तो आपको y का मान मिलता है। यह एक दृष्टांत का काम है

फ़ंक्शन के शीर्ष को खोजें, यदि यह द्विघात है। यदि आप एक सीधी रेखा या किसी भी कार्य के साथ एक अजीब संख्या वाले बहुपद के साथ काम कर रहे हैं, जैसे कि एफ (एक्स) = 6x ³ + 2 x + 7, आप इस चरण को छोड़ सकते हैं। लेकिन अगर आप परोबोला, या किसी भी समीकरण के साथ काम कर रहे हैं जिसमें एक्स-निर्देशांक को स्क्वायर या शक्ति में उठाया गया है, तो आपको शीर्ष को चित्रित करने की आवश्यकता होगी। ऐसा करने के लिए, फ़ंक्शन 3x का एक्स-निर्देशांक प्राप्त करने के लिए बस सूत्र-बी / 2 ए का उपयोग करें ² + 6 x-2, जहां 3 = एक, 6 = -2 और बी = सी। इस मामले में बी -6 है, और 2 ए 6 है, फिर एक्स-निर्देशांक -6 / 6 या -1 है।

अब, समारोह -1 पर y- समन्वय प्राप्त करने के लिए जगह पर। f (-1) = 3 (-1) ² + 6 (-1) -2 = 3-6 -2 = -5
शीर्ष (-1, -5) है जिस बिंदु पर एक्स-निर्देशांक -1 है और y- समन्वय -5 है, उसे खींचकर एक ग्राफ़ बनाएं। यह ग्राफ़ के तीसरे चक्र में होना चाहिए।

फ़ंक्शन में कुछ अन्य बिंदु खोजें। समारोह की भावना प्राप्त करने के लिए, आपको एक्स के कुछ अन्य निर्देशांकों को संबोधित करना होगा, ताकि आप इस बात की भावना प्राप्त कर सकें कि रेंज की तलाश शुरू करने से पहले फ़ंक्शन कितनी है। चूंकि यह परोबा और समन्वय है ² एक्स सकारात्मक है, यह ऊपर की तरफ इशारा करेगा लेकिन बस अपने ठिकानों को कवर करने के लिए, हम y के निर्देशांक को देखने के लिए एक्स के निर्देशांक को जोड़ते हैं:

च (-2) = 3 (-2)² + 6 (-2) -2 = -2 ग्राफ पर एक बिंदु (-2, -2)
f (0) = 3 (0)² + 6 (ओ) -2 = -2 ग्राफ पर एक अन्य बिंदु (0, -2) है
एफ (1) = 3 (1)² + 6 (1) -2 = 7. ग्राफ पर एक तीसरा बिंदु (1, 7) है।

ग्राफ़ की श्रेणी का पता लगाएं। अब, ग्राफ़ पर वाई के निर्देशांक को देखें और निम्न बिंदु को ढूंढें जिस पर ग्राफ़ एक y समन्वय को छूता है। इस मामले में, सबसे छोटा समन्वय वाई शीर्ष पर खड़ा है, -5, और ग्राफ इस बिंदु से असीम रूप से फैली हुई है। इसका मतलब यह है कि समारोह की सीमा y है = सभी वास्तविक संख्या ≥ -5

विधि 2
ग्राफ़ में फ़ंक्शन की श्रेणी ढूँढना

फ़ंक्शन का न्यूनतम पता लगाएं। समारोह के सबसे छोटे समन्वय वाई की खोज करें। मान लीजिए कि समारोह -3 कम से कम अंक पर पहुंचता है। यह फ़ंक्शन छोटे और असीम छोटा भी प्राप्त कर सकता है, ताकि उसके पास एक निचला बिंदु न हो - यह केवल असीम है

अधिकतम फ़ंक्शन का पता लगाएं। मान लीजिए कि फ़ंक्शन का सर्वोच्च वाई समन्वय 10 है। यह फ़ंक्शन असीम रूप से बड़ा हो सकता है, इसलिए इसमें उच्च सेट पॉइंट नहीं है - यह केवल असीम है

अंतराल निर्धारित करें इसका अर्थ है कि फ़ंक्शन का अंतराल, या निर्देशांक y का अंतराल, 3 से 10 के बीच होता है। तब, -3 ≤ एफ (x) ≤ 10. यह फ़ंक्शन का अंतराल है।

लेकिन मान लें कि ग्राफ y = -3 पर सबसे कम बिंदु तक पहुंचता है, लेकिन अनिश्चित काल तक फिर, अंतराल एफ (एक्स) ≥ -3 है
मान लें कि ग्राफ 10 में अपने उच्चतम बिंदु तक पहुंचता है, लेकिन यह अनिश्चित काल तक नीचे चला जाता है। फिर, अंतराल f (x) ≤ 10 है

विधि 3
रिश्ते से फ़ंक्शन की रेंज ढूँढना

रिश्ते को लिखें एक संबंध एक्स और वाई निर्देशांक के साथ क्रमबद्ध युग्म का एक सेट है। आप एक रिश्ते को देख सकते हैं और अपना डोमेन और श्रेणी निर्धारित कर सकते हैं। मान लें कि आप निम्नलिखित संबंधों के साथ काम कर रहे हैं: {(2, - 3), (4, 6), (3, - 1), (6, 6), (2, 3)}।

रिश्ते के y निर्देशांक को सूचीबद्ध करें संबंध की श्रेणी को खोजने के लिए, बस प्रत्येक आदेशित जोड़ी के सभी निर्देशांक y लिखें: {-3, 6, -1, 6, 3}।

किसी भी डुप्लिकेट निर्देशांक को निकालें ताकि आप में केवल एक y- समन्वय हो। आप देखेंगे कि आपने "6" दो बार सूचीबद्ध किया है एक निकालें और वहाँ हो जाएगा {-3, -1, 6, 3}।

मठ के चरण 11 में एक फ़ंक्शन की रेंज ढूंढें

आरोही क्रम में रिश्ते की सीमा लिखें। अब निर्धारित संख्याओं को पुन: क्रमित करें, छोटे से सबसे बड़े में बदलकर, और आपको सीमा मिल जाएगी संबंध की सीमा {(2, -3), (4, 6), (3, -1), (6, 6), (2, 3)} {-3, -1, 3, 6} है। तैयार है।

मठ के चरण 12 में एक फ़ंक्शन की रेंज ढूंढें

सुनिश्चित करें कि संबंध एक फ़ंक्शन है फ़ंक्शन के संबंध के लिए, प्रत्येक बार जब आप कई एक्स समन्वय डालते हैं, तो y समन्वय समान होना चाहिए। उदाहरण के लिए, (2, 3) (2, 4) (2, 3) (2, 4) (6, 9)} एक फ़ंक्शन नहीं है, क्योंकि जब आप पहली बार 2 को एक्स डालते हैं, तो आपके पास 3 है, लेकिन दूसरी बार, यदि आप 2 डाल देते हैं, आपको चार मिलता है किसी रिश्ते को एक समारोह के लिए, यदि आप एक ही इनपुट डालते हैं, तो आपको हमेशा एक ही उत्पाद प्राप्त करना चाहिए। यदि आप -7 में डालते हैं, तो आपको हर समय y (whatever) के समान निर्देशांक प्राप्त करना चाहिए।

विधि 4
किसी समस्या में फ़ंक्शन के अंतराल को ढूंढना

मठ के चरण 13 में फ़ंक्शन की रेंज ढूंढें चित्र शीर्षक

समस्या पढ़ें मान लें कि आप निम्न समस्या के साथ काम कर रहे हैं: "रोबर्टा 5 रीएस प्रत्येक के लिए स्कूल की प्रतिभा दिखाने के लिए टिकट बेच रही है। वह जमा की गई राशि वह कितने टिकट बेचती है, इसका एक फ़ंक्शन होता है। समारोह का दायरा क्या है? "

एक समारोह के रूप में समस्या लिखें इस मामले में, एम यह एकत्रित धन की राशि का प्रतिनिधित्व करता है, और टी टिकट बेचने की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। हालांकि, चूंकि प्रत्येक टिकट 5 रिएस की लागत आएगी, आपको पैसे की रकम जानने के लिए 5 द्वारा बेची गई टिकटों की संख्या को गुणा करना होगा। इसलिए, फ़ंक्शन को एम (टी) = 5 टी के रूप में लिखा जा सकता है

उदाहरण के लिए, अगर वह 2 टिकट बेचती है, तो आपको 10 से 10 गुणा करने के लिए 2 से 5 गुणा करना होगा, उसके पास रील की मात्रा होगी।

मठ के चरण 15 में फ़ंक्शन की रेंज ढूंढें चित्र शीर्षक

डोमेन को निर्धारित करें श्रेणी का निर्धारण करने के लिए, आपको पहले डोमेन खोजना होगा। डोमेन समीकरण के साथ काम करने वाले सभी संभावित मूल्यों का डोमेन है। इस मामले में, रोबर्टा 0 या उससे अधिक का टिकट बेच सकता है - वह नकारात्मक टिकट नहीं बेच सकती है। चूंकि हम अपने विद्यालय की सभागार में सीटों की संख्या नहीं जानते हैं, हम यह सोच सकते हैं कि वह सैद्धांतिक रूप से कई अनंत टिकट बेच सकती हैं। और वह पूरी टिकट बेच सकती है - वह 1/2 टिकट नहीं बेच सकती है, उदाहरण के लिए। इसलिए, फ़ंक्शन का डोमेन T = कोई भी गैर-पूर्णांक पूर्णांक है।

अंतराल निर्धारित करें रेंज रोबर्टा आपके बिक्री के साथ कर सकता है की संभव राशि है। श्रेणी को खोजने के लिए आपको डोमेन के साथ काम करना होगा। यदि आप जानते हैं कि डोमेन कोई गैर-पूर्णांक पूर्णांक है और यह सूत्र एम (टी) = 5 टी है, तो आप जानते हैं कि आप परिणाम प्राप्त करने के लिए इस फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं या किसी भी गैर-पूर्णांक पूर्णांक की श्रेणी उदाहरण के लिए, अगर वह 5 टिकट बेचती है, तो एम (5) = 5 x 5 या 25 रिएस अगर यह 100 बेचता है, तो एम (100) = 5x100, या $ 500। इसलिए, फ़ंक्शन रेंज किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक है जो 5 के एक बहु है।

इसका मतलब यह है कि पांचवां से अधिक कोई भी गैर-पूर्णांक पूर्णांक कार्य प्रविष्टि के लिए एक संभावित उत्पाद है।

युक्तियाँ

देखें कि क्या आपको व्युत्क्रम समारोह मिल सकता है। फ़ंक्शन के व्युत्क्रम समारोह का डोमेन उस फ़ंक्शन के अंतराल के बराबर है।
जांचें कि फ़ंक्शन स्वयं को दोहराता है एक्स-एक्स के साथ दोहराता कोई भी समारोह पूरे फ़ंक्शन के लिए एक ही अंतराल होगा। उदाहरण के लिए, f (x) = sin (x) की श्रेणी 1 और 1 के बीच है