फूरियर की गणना कैसे करें फ़ंक्शन के रूपांतरण

फूरियर रूपांतरण आसानी से समझा जा सकता है अगर कुछ कदम सावधानी से पालन किए जाते हैं ये बदलाव आधुनिक सभ्यता के कई हिस्सों का आधार हैं, जिनमें मोबाइल संचार और डिजिटल फोटोग्राफी, पराबैंगनीकिरण और प्रकाशिकी शामिल हैं। फूरियर रूपांतरण अन्य उपकरणों जैसे कि असतत ट्रांसफार्मर, ट्रांसफार्मर (जिसे पीपीएजी और एमपीगे में इस्तेमाल किया जाता है), पैटर्न मान्यता, वित्त, चिकित्सा इमेजिंग और कई अन्य अनुप्रयोगों में बांट दिया गया है।

चरणों

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जानें कि आवधिक फ़ंक्शन क्या है समय-समय पर फ़ंक्शन ज्ञात समय अंतराल पर उसके रूप को दोहराता है। यह है च ( टी ) = च ( टी + nटी), जहाँ n कोई पूर्णांक है
- इन अंतराल को अवधि कहा जाता है। पिछले संबंध में, टी अवधि है
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अपनी खुद की भाषा में फूरियर का बुनियादी विचार जानें
- किसी भी आवधिक फ़ंक्शंस को विघटित किया जा सकता है और सामान्य अवधि के साथ सामान्य सािनुसाइड फ़ंक्शंस के कुछ मात्रा के संदर्भ में लिखा जा सकता है।
- प्रत्येक sinusoidal फ़ंक्शन में बेस आवृत्ति के पूर्णांक एकाधिक की आवृत्ति होती है।
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उपर्युक्त समीकरण का कहना है कि किसी आवधिक फ़ंक्शन को लिखित या विस्तारित किया जा सकता है, जैसे कि योग
- एक स्थिर मूल्य, ½ ₀, भी डीसी मूल्य के रूप में जाना जाता है, और विभिन्न sinusoidal कार्यों। मूल कार्य के आधार पर, कुछ विस्तार शून्य हो सकता है।
- ω₀ मूल परिपत्र आवृत्ति है जिसे आसानी से आधार अवधि से गणना की जा सकती है टी.
- केवल गणना करने के लिए रहता है ₀ और एक फार्मूला जो सभी बनाता है ₀ और सभी ख₀. Sinusoidal समारोह के orthogonality संपत्ति का उपयोग कर यह करो
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"ऑर्थोगोनल" फ़ंक्शंस का अर्थ जानें ओर्थोगोनल फ़ंक्शन एक दूसरे के लिए लंबवत हैं। इसका मतलब यह है कि यदि आप किसी भी दो चुनते हैं, उदाहरण के लिए, च ( टी ) और जी ( टी ) कुल में, फिर
- ओर्थोगोनालिटी
- साइनसॉइडल फ़ंक्शंस कई ओर्थोगोनल फ़ंक्शन हैं।
- सीधा सदिशों की बुनियादी धारणा से इसकी तुलना करें, जहां उनके स्केलर उत्पाद शून्य के बराबर होते हैं। स्केलायर उत्पाद, दो वैक्टर के भी घटकों के उत्पादों का योग है। इस मामले में, राशि के बजाय, एक अभिन्न गणना की जानी चाहिए।
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एक "वेक्टर" और "फसर" के बीच का अंतर पता है
- वेक्टर एक सीधी रेखा में दूसरे बिंदु तक एक बिंदु लेता है।
- एक फसर में एक परिपत्र आवृत्ति बाड़ के साथ एक बिंदु के आसपास एक वेक्टर शामिल है ω. एक फासर एक घूर्णन वेक्टर है।
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ध्यान दें कि जब एक निश्चित-लंबाई वेक्टर एक बिंदु के आसपास घूम रहा है, तो वास्तविक अक्ष पर उसका प्रक्षेपण अधिकतम मूल्य से शून्य में बदलता है और फिर एक नकारात्मक अधिकतम मूल्य के लिए, और फिर शून्य और सकारात्मक अधिकतम मान को वापस आता है।
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घूर्णन सदिश की प्रक्षेपण लंबाई - काल्पनिक अक्ष पर छायांकित - sinusoidal परिवर्तन।
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निष्कर्ष निकालना है कि एक sinusoidal समारोह phasor के रूप में लिखा जा सकता है, और इस तरह से यह फूरियर श्रृंखला से निपटने के लिए आसान है साइनसॉइड आकार के साथ परिणाम की तुलना करें सभी चिंताओं के बारे में ₀_nख_n अब मौजूद नहीं है केवल एक कारक है _{कश्मीर} जो गणना की जानी चाहिए। गणना की एक सरल इंटीग्रल से बनाई गई हैं च ( टी ) जो सभी गुणांक प्राप्त करता है एक बार में अब उल्लेख किया गया शेफ सिर्फ एक घटक के साथ किसी भी प्रकार का केक बना देता है।
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विस्तार के लिए व्याख्या करें च ( टी ). विस्तार में अज्ञात क्या है?
- आप की एक अनंत संख्या की गणना करने की आवश्यकता है _{कश्मीर}`एस
- सब _{कश्मीर}एस आसानी से एकीकरण करके गणना की जा सकती है च ( टी ) जो सभी शर्तों में परिणाम
  - "सभी शर्तों" के बजाय, संकेतन {a_{कश्मीर} } का उपयोग किया जाता है
  - {एक_{कश्मीर} } के रूप में जाना जाता है च ( टी ).
- च ( टी ) असल में असंतुलन संख्या के phasors के संश्लेषण के संबंध में हार्मोनिक आवृत्तियों के साथ घूमते हुए विभिन्न लंबाई ω₀ की च ( टी ) दोनों दिशाओं में, दक्षिणावर्त और वामावर्त, क्योंकि कश्मीर सकारात्मक और नकारात्मक पूर्णांक के माध्यम से चक्र
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विस्तार की एक श्रृंखला के बजाय एक परिणत के रूप में सूत्रों की जोड़ी को देखें। जब आपके पास हो च ( टी ), आपके पास है _{कश्मीर}. इसके विपरीत, जब _{कश्मीर}, एक प्राप्त करता है च ( टी ). के मूल्य _{कश्मीर} से बदल रहे हैं च ( टी ). का मूल्य च ( टी ) का व्युत्क्रम परिणत है _{कश्मीर}`एस यह निम्नानुसार लिखा है,
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ध्यान दें। ऐसा लगता है कि दो हैं डोमेन. च ( टी ) समय के दायरे में है लेकिन_{कश्मीर}पूर्णांक के दायरे में हैं इस प्रकार, फूरियर विस्तार एक डोमेन को दूसरे में बदलता है और इसके विपरीत।
- इस कारण से, यह एक परिवर्तन के रूप में माना जाता है निरंतर समय.
- जो लोग लहरों का अध्ययन करते हैं वे प्रश्न में लहर की रेखा या स्पेक्ट्रा का विश्लेषण करने के लिए सतत समय की लहर और एक स्पेक्ट्रम का निरीक्षण करने के लिए एक आस्टसीलस्कप का उपयोग करते हैं।
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सबसे अक्सर उदाहरण देखें उदाहरण के लिए, एक आयताकार खिड़की, जो खुलती है और नियमित रूप से बंद करती है या नियमित समय पर काम कर रहे स्टाम्प यह निश्चित अवधि के दालों का एक क्रम है।
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- आंतरिक अभिन्न से, के -12 या समकक्ष गणना ज्ञान का उपयोग करने के लिए यह सबसे आसान उदाहरण है च ( टी ) एक हिस्से में एक के बराबर है और दूसरे में शून्य के बराबर है, और आपको गुणांक से अलग एक एक्सपेंलेनेशन के अभिन्न अंग की गणना करनी चाहिए जो स्वयं के बराबर है। इस स्तर पर, आप एक जटिल सिग्नल को परिवर्तित करने से परिचित हैं। परिणाम एक समारोह है sinc. सीधे शब्दों में कहें, sinc ( एक्स ) = सेन ( एक्स ) / एक्स. यह प्रतिशत के समान, उसके कोण पर एक sinusoidal फ़ंक्शन तराजू है।
- लिफाफा के रूप में फ़ंक्शन सिंक करें
  से लिफाफा ड्रा _{कश्मीर} .
- से लिफाफा ड्रा |_{कश्मीर} | अपने कूदो की कमी की सराहना करने के लिए
- फ़ंक्शन में प्रत्येक वक्र sinc स्पेक्ट्रम लाइनों की एक निश्चित राशि से भर जाता है
- प्रकृति की प्रत्येक पल्स को बनाने से स्पेक्ट्रम में लाइनों की संख्या बढ़ जाती है और घने दिखाई देती है, और यह धारणा देती है कि स्पेक्ट्रम वास्तव में एक समारोह है sinc और बुद्धिमान नहीं
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ध्यान दें कि अब आप दो डोमेन के परिवर्तन के रूप में आवधिक फ़ंक्शन के फूरियर श्रृंखला के विस्तार को देख रहे हैं। यह देखने के लिए बनी हुई है कि एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन का रूपांतरण क्या होता है।
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आपकी अपेक्षा की पुष्टि करें कि एक गैर-सामान्य अवधि का विस्तार समीकरण के बजाय एक अभिन्न रूप के रूप में होगा।
- आप सही हैं कि यह फूरियर अभिन्न फूरियर श्रृंखला के साथ विरोधाभास है।
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इस प्रकार, फूरियर "निरंतर समय" कार्यों के लिए परिणत एक फूरियर श्रृंखला या अभिन्न हो सकता है।
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एक आयताकार पल्स पर विचार करें। यदि आप एक आयताकार खिड़की खोलते हैं और केवल एक बार बंद हो जाती है तो आप पल्स देखते हैं। या यदि स्टेपर मोटर चालू हो और चालू हो
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