मठ अभिव्यक्तियों को सरल कैसे करें

गणित के छात्रों को अक्सर "सरल शब्दों" में जवाब देने की आवश्यकता होती है। यद्यपि एक भयावह बड़े और काफी संक्षिप्त अभिव्यक्ति का एक ही परिणाम है, एक समस्या को सरलतम शब्दों में प्रतिक्रिया कम करने तक तक हल नहीं माना जाता है। इसके अलावा, कम जवाब बहुत आसान के साथ काम कर रहे हैं। इन कारणों से, अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए सीखना उन लोगों के लिए आवश्यक कौशल है जो गणितज्ञ बनना चाहते हैं।

सामग्री

चरणों

विधि 1संचालन के आदेश का उपयोग करना
विधि 2सरल अभिव्यक्तियाँ

चरणों

विधि 1
संचालन के आदेश का उपयोग करना

चित्रा शीर्षक सरलीकृत गणित अभिव्यक्ति चरण 1

आपरेशनों का क्रम याद रखें पहले ब्रेसिज़ के अंदर अभिव्यक्तियाँ हल हो जाती हैं, फिर ब्रैकेट्स, और फिर कोष्ठक। इसके अलावा, इन भावों के भीतर, निम्नलिखित आदेश प्रचलित हैं: प्रतिपादक, गुणा, विभाजन, जोड़ और घटाव यदि अभिव्यक्ति को इस आदेश से सरल किया गया है, तो खाता गलत हो सकता है। सही क्रम को सजाने में मदद करने के लिए, "पीईएनएसएम एम बुलेट्स", यानी पीईएमडीएएस (कोष्ठक, प्रतिपादक, गुणन, विभाजन, अतिरिक्त और अंत में घटाव) याद रखें।

नोट करें कि आपरेशन के क्रम का बुनियादी ज्ञान सबसे बुनियादी अभिव्यक्तियों के सरलीकरण की अनुमति देता है, जबकि लगभग सभी बहुपदों सहित कई चर अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए विशेष तकनीकों की आवश्यकता होती है। अधिक विवरण के लिए नीचे विधि दो देखें

चित्र शीर्षक सरलीकृत मठ अभिव्यक्ति चरण 2

कोष्ठक के भीतर मौजूद सभी शर्तों को हल करके शुरू करें गणित में, कोष्ठक इंगित करते हैं कि उनके भीतर की शर्तों को अलग से गणना करना चाहिए। उनके भीतर किए गए कार्यों के बावजूद, सरलीकरण की ओर पहला कदम कोष्ठक में शब्दों को हल करना है। यह याद रखने योग्य है कि, प्रत्येक जोड़ी के कोष्ठक के भीतर, संचालन का क्रम अभी भी प्रचलित है। उदाहरण के लिए, कोष्ठकों के अंदर, जोड़कर जोड़ना होगा, घटाए जाने से पहले जोड़ना आदि।

एक उदाहरण के रूप में, अभिव्यक्ति को सरल करते हैं 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). इसमें, हम शब्दों को कोष्ठकों में हल करते हैं, अर्थात, 5 + 2 और 3 + 4/2, पहले। 5 + 2 = 7. 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
- कोष्ठक में दूसरा कार्य 5 तक सरलीकृत है, जैसा कि हम 4/2 को विभाजित करते हैं, जैसे कोष्ठक के भीतर शब्दों के साथ दिया जाने वाला पहला चरण। अगर हम केवल बाएं से दाएं हल कर रहे थे, तो हम 3 और 4 जोड़ देंगे और फिर 2 से विभाजित करेंगे, जो गलत परिणाम देगा: 7/2
यदि एकाधिक कोष्ठक होते हैं, तो दूसरे के अंदर एक, पहले वाले के भीतर लोगों को हल करें, फिर उसके बाद वाले और इतने पर। आदेश अंदर से बाहर है

चित्रा शीर्षक सरलीकृत गणित अभिव्यक्ति चरण 3

प्रतिपादकों को हल करें कोष्ठक में सब कुछ हल करने के बाद, यह घाटियों को हल करने का समय है प्रत्येक प्रतिपादक के समाधान का पता लगाएं फिर, जवाबों को समीकरण में फिट करें।

कोष्ठक से निपटने के बाद, हमारी उदाहरण अभिव्यक्ति 2x + 4 (7) + 3² - 5. हमारे उदाहरण में एकमात्र एक्सपोनेंट 3 है², जो में परिणाम 9. इस परिणाम को 3 के स्थान पर समीकरण के अनुसार फ़िट करें² प्राप्त करने के लिए 2x + 4 (7) + 9-5.

चित्र शीर्षक सरलीकृत गणित अभिव्यक्ति चरण 4

अभिव्यक्ति की गुणन समस्याओं को हल करें याद रखें कि गुणन कई मायनों में प्रदर्शित किया जा सकता है ए × प्रतीक, एक अवधि, या एक तारांकन सभी गुणन का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है हालांकि, एक संख्या कोष्ठक या चर के आगे (जैसे कि 4 (एक्स)) का उपयोग गुणा को इंगित करने के लिए भी किया जाता है

हमारी समस्या में गुणन के दो उदाहरण हैं: 2x (2x 2x x) और 4 (7)। हम एक्स के मूल्य को नहीं जानते, इसलिए हम 2x छोड़ देंगे क्योंकि यह है। 4 (7) = 4 × 7 = 28. फिर हम समीकरण को फिर से लिख सकते हैं 2x + 28 + 9 - 5.

विभाजन के साथ आगे बढ़ें प्रभाग, साथ ही गुणा, भी अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है: विभाजित और बार (जैसे 3/4, उदाहरण के लिए)

चूंकि हमने पहले से ही एक विभाजन की समस्या (4/2) हल कर ली है, जब हम शब्दों को कोष्ठक में हल करते हैं, हमारे उदाहरण में हल करने के लिए कोई विभाजन समस्या नहीं है। तो हम इस कदम को छोड़ सकते हैं। यह दर्शाता है कि हमें अभिव्यक्ति को सरल बनाने के द्वारा संक्षिप्त नाम PEMDAS में शामिल प्रत्येक ऑपरेशन को हल करने की ज़रूरत नहीं है। बस उन लोगों को हल करें जो हमारी समस्या में मौजूद हैं।

चित्र शीर्षक सरलीकृत गणित अभिव्यक्तियाँ चरण 6

कुछ। आप अभिव्यक्ति के साथ बाएं से दायां राशि को हल कर सकते हैं, लेकिन संख्याओं को जोड़ना आसान है, जो पहले मूल्य में पहले हैं। उदाहरण के लिए, 49 + 29 + 51 +71 की अभिव्यक्ति में 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 और 100 + 100 = 200 जोड़ना आसान है, 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 12 9 से जोड़ना , और 12 9 + 71 = 200

हमारा उदाहरण आंशिक रूप से "2x + 28 + 9 - 5" में सरलीकृत था अब, हमें यह जोड़ना होगा कि हम क्या कर सकते हैं - चलो बाएं से दाएं से प्रत्येक अतिरिक्त समस्या की जांच करें। हम 2x और 28 जोड़ नहीं सकते, क्योंकि हमें एक्स के मूल्य में नहीं पता है, तो चलिए इसे इसे छोड़ दें जैसा कि है चलिए 28 + 9 = के साथ आगे बढ़ते हैं 37, इसलिए हम अभिव्यक्ति को "2x + 37 - 5" के रूप में दोबारा लिख सकते हैं।

चित्र शीर्षक सरलीकृत गणित अभिव्यक्ति चरण 7

घटाएं। यह PEMDAS का अंतिम चरण है। सभी घटाव समस्याओं को हल करें आप इस चरण में नकारात्मक संख्याएं जोड़ सकते हैं या सामान्य अतिरिक्त के रूप में एक ही चरण में - अंतिम परिणाम समान होगा।

हमारे अभिव्यक्ति में, "2x + 37-5," घटाव की केवल एक समस्या है 37-5 = 32

चित्र शीर्षक सरलीकृत गणित अभिव्यक्ति चरण 8

अभिव्यक्ति की समीक्षा करें ऑपरेशन के सही क्रम का पालन करके आप सभी समस्याओं का समाधान कर लेने के बाद, आपके पास एक सरल अभिव्यक्ति होगी। हालांकि, यदि आपकी अभिव्यक्ति में एक या अधिक चर है, तो वे जिस तरह से हैं, वे रहेंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि, उन्हें सरल बनाने के लिए, किसी को वैरिएबल के मूल्य को खोजना होगा या अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए विशेष तकनीकों का उपयोग करना होगा (जैसा कि नीचे दिखाया गया है)।

हमारा अंतिम उत्तर "2x + 32" होगा हम समस्या के अंत तक नहीं पहुंच सकते जब तक कि हम एक्स के मूल्य को नहीं जानते। जब हम पता लगाएंगे, तो समस्या का समाधान करना बहुत आसान होगा।

विधि 2
सरल अभिव्यक्तियाँ

समान वैरिएबल जोड़ें जब वेरिएबल्स वाले एक्सप्रेशंस से निपटते हैं, तो यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि उसी वैरिएबल और एक्सपोनेंट के साथ शब्दों का सारांश और सामान्य संख्या के रूप में घटाया जा सकता है। शर्तें दायित्वपूर्ण होना चाहिए एक ही चर और एक ही एक्सपोनेंट है उदाहरण के लिए, 7x और 5x जोड़ा जा सकता है, लेकिन 7x और 5x² वे नहीं कर सकते

यह नियम कई चर के साथ शब्दों पर भी लागू होता है उदाहरण के लिए, 2xy² -3xy में जोड़ा जा सकता है², लेकिन -3x नहीं²वाई या -3 ई².
चलो एक्सप्रेशन एक्स पर नजर डालें² + 3x + 6-8x इसमें, हम 3x और -8x जोड़ सकते हैं, क्योंकि वे समान हैं। बस डाल, हम मिल एक्स² - 5x + 6.

चित्र शीर्षक सरलीकृत गणित अभिव्यक्ति चरण 10

विभाजित या "रद्द" करके संख्यात्मक अंशों को सरल बनाएं. संख्याओं में भिन्न संख्याओं (जो कि, कोई चर नहीं है) के अंश और कई तरह से सरल किए जा सकते हैं। आसान तरीका अंश को एक साधारण विभाजन की समस्या के रूप में हल करना है। इसके अतिरिक्त, किसी भी गुणक, जो एक ही समय में अंश और छानबीन में प्रतीत होता है, रद्द किया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यह 1 में परिणाम (संख्या में विभाजित है)। दूसरे शब्दों में, यदि अंश और विभाजक एक घटक को साझा करते हैं, तो यह अंश से बाहर ले जाया जा सकता है, जिससे उत्तर सरल हो जाता है।

उदाहरण के लिए, हम 36/60 अंश को देखते हैं एक कैलकुलेटर के साथ, हम परिणाम प्राप्त कर सकते हैं 0.6. हम सामान्य कारकों को निकालकर भी अंश को सरल बना सकते हैं। अंश 36/60 को देखने का दूसरा तरीका है (6 × 6) / (6 × 10)। इसे 6/6 × 6/10 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। 6/6 = 1, इसलिए हमारी अभिव्यक्ति वास्तव में 1 × 6/10 = 6/10 है। लेकिन हम अभी तक नहीं किए गए हैं - दोनों 6 और 10 शेयर कारक 2. उपरोक्त प्रक्रिया को दोहराते हुए हम मिलते हैं 3/5.

चर के साथ अंशों में, परिवर्तनशील कारकों को रद्द करें। भिन्नताओं के रूप में चर के साथ अभिव्यक्ति सरल बनाने के लिए अद्वितीय अवसर प्रदान करती है। सामान्य भिन्नों की तरह, चर के साथ अंश आप अंश और दोनों के द्वारा साझा किए गए कारकों को निकालने की अनुमति देते हैं। लेकिन चर के साथ अंशों में, ये कारक चर और अंकों के साथ दोनों संख्याओं और भाव हो सकते हैं।

चलिए अभिव्यक्ति देखें (3x² + 3x) / (- 3x² + 15x)। इस अंश को फिर से लिखा जा सकता है (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), 3x दोनों अंश और दोनों में प्रकट होता है। इन कारकों को समीकरण से निकालकर, हम प्राप्त करते हैं (एक्स + 1) / (5-एक्स). इसी प्रकार, अभिव्यक्ति में (2x² + 4x + 6) / 2, क्योंकि प्रत्येक शब्द 2 से विभाज्य है, हम अभिव्यक्ति को इस रूप में लिख सकते हैं (2 (एक्स² + 2x + 3)) / 2 और फिर इसे सरल बनाने के लिए एक्स² + 2x + 3.
ध्यान दें कि आप किसी भी शब्द को रद्द नहीं कर सकते हैं - आप केवल बहुगुणित कारक को रद्द कर सकते हैं जो निगोशिएट और अंश दोनों में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति (एक्स (एक्स + 2)) / एक्स में, "एक्स" को दोनों अंश और भाजक में रद्द किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप (x + 2) / 1 = (x + 2)। हालांकि, (एक्स + 2) / एक्स मत करो 2/1 = 2 में रद्द किया जा सकता है

कोष्ठकों में उनके स्थिरांक द्वारा शब्दों को गुणा करें जब कोष्ठकों में वेरिएबल से निपटते हैं जो उनके बगल में निरंतर होते हैं, तो हम कभी-कभी प्रत्येक शब्द को कोष्ठकों में निरंतर निरंतर और एक सरल परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। यह विशुद्ध संख्यात्मक स्थिरांक और स्थिरांक पर लागू होता है जिसमें चर शामिल हैं।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 3 (एक्स² + 8) को सरलीकृत किया जा सकता है 3x² + 24, जबकि 3x (x² + 8) को सरलीकृत किया जा सकता है 3x³ + 24x.
ध्यान दें कि कुछ मामलों में (जैसे वेभार के साथ अंश), कोष्ठक के निकट निरंतर बन्द होने से मौका रद्द हो जाता है तो यह सबसे अच्छा है कि इसका उपयोग कोष्ठक के माध्यम से गुणा करने के लिए नहीं किया जा सकता। अंश में (3 (एक्स² + 8)) / 3x, उदाहरण के लिए, कारक 3 दोनों अंश और भाजक में प्रकट होता है, इसलिए हम इसे रद्द कर सकते हैं और अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए (x² + 8) / एक्स (3x के साथ तुलना में ऐसा काम करना आसान है³ + 24x) / 3x, जो परिणाम है, हम प्राप्त करेंगे अगर हम कोष्ठकों द्वारा गुणा किया

फैक्टरिंग का इस्तेमाल करना आसान बनाएं फैक्टरिंग एक तकनीक है जिसके द्वारा चर के साथ कुछ अभिव्यक्तियां, बहुपदों सहित, को सरल किया जा सकता है। ऊपर दिखाए गए "कोष्ठक के माध्यम से गुणन" के विपरीत के रूप में फैक्टरिंग के बारे में सोचें - कभी-कभी एक अभिव्यक्ति सरल हो सकती है, अगर हम एक एकमात्र अभिव्यक्ति के साथ काम करने के बजाय दूसरे के लिए एक अवधि को गुणा करते हैं। यह विशेष रूप से लागू होता है यदि अभिव्यक्ति फैक्टरिंग आप इसे का हिस्सा रद्द करने की अनुमति देता है (उसी तरह आप एक अंश में) विशेष मामलों में (आमतौर पर द्विघात समीकरणों के साथ), फर्किकीकरण भी आपको समीकरण के समाधान खोजने की अनुमति देता है।

चलो एक्स एक्स एक्स को देखें² - 5x + 6 एक और बार यह अभिव्यक्ति (x - 3) (एक्स - 2) में कारगर हो सकती है। इसलिए, यदि x² - 5x + 6 हर किसी में से किसी एक शब्द के साथ दिए गए अभिव्यक्ति का अंश है, जैसा कि अभिव्यक्ति का मामला है (x² - 5x + 6) / (2 (x - 2)), हम इसे फर्क कर सकते हैं ताकि हम इसे हर तरह से रद्द कर सकें। दूसरे शब्दों में, (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)) के साथ, (x - 2) में शर्तें रद्द कर दी जाती हैं, (एक्स -3) / 2.
जैसा कि ऊपर संकेत दिया, एक और कारण एक अभिव्यक्ति कारक तथ्य यह है कि फैक्टरिंग कुछ समीकरणों का जवाब है, खासकर जब इन समीकरणों भाव शून्य के बराबर है कि के रूप में लिखा जाता है का पता चलता है के साथ क्या करना है। उदाहरण के लिए, हमें समीकरण की जांच करते हैं एक्स² - 5x + 6 = 0. फैक्टरिंग करके, हम प्राप्त (एक्स - हम 3) (x - 2) = 0. के बाद से किसी भी संख्या शून्य में से शून्य परिणाम गुणा, हम जानते हैं कि कोष्ठक में किसी भी अवधि के शून्य के बराबर हो सकता है। जल्द ही, बाईं तरफ के पूरे अभिव्यक्ति भी शून्य का परिणाम देगा। तो, 3 और 2 समीकरण के उत्तर हैं

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