रेडिकल्स को सरल कैसे करें

कट्टरपंथी अभिव्यक्ति एक बीजीय अभिव्यक्ति है जिसमें एक वर्ग, घन या अन्य मूल शामिल है। इन अभिव्यक्तियों के लिए समान संख्या का वर्णन करना आम बात है, भले ही वे काफी अलग दिखते हैं (जैसे 1 / (√ (2) - 1) = √ (2) +1)। समाधान उनके लिए पसंदीदा "कैनोनिकल फॉर्म" का चयन करना है यदि दो अभिव्यक्ति, दोनों प्रामाणिक रूप में, अभी भी अलग दिखती हैं, वे वाकई उसी संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं। गणितज्ञों का मानना है कि कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों का प्रामाणिक रूप:

सामग्री

चरणों

विधि 1सही शक्तियां
विधि 2कणों में तर्कसंगत घातांक को परिवर्तित करें
विधि 3कणों से भिन्न अंश निकालें
विधि 4कट्टरपंथी उत्पादों का मिश्रण
विधि 5रैडिकल से वर्ग कारक निकालें
विधि 6हर चीज को तर्कसंगत बनाना

युक्तियाँ

कट्टरपंथी-
भिन्न अंशों से बचें-
भाजक में कणों से बचना -
कणिकों द्वारा क्रांतिकारी गुणा से बचें-
केवल कणों के नीचे के वर्गमूल के बाहर शब्द हैं।

इस प्रपत्र का एक व्यावहारिक उपयोग कई विकल्प परीक्षणों में पाया जा सकता है। यदि आप एक समस्या का समाधान करते हैं, लेकिन विकल्प के बीच अपना उत्तर नहीं ढूंढते हैं, तो इसे वैचारिक रूप में सरल बनाने का प्रयास करें। क्योंकि परीक्षण लेखक अक्सर इस तरह से उत्तर देते हैं, आपके साथ ऐसा करने से यह स्पष्ट होगा कि सही उत्तर क्या है निबंध परीक्षणों में, "आपके उत्तर को आसान बनाने" या "सभी कट्टरपंथियों को आसान बनाने" के निर्देशों का मतलब है कि छात्र को निम्नलिखित चरणों पर लागू करना चाहिए जब तक कि उत्तर ऊपर वर्णित वैधानिक रूप को पूरा नहीं करता है यह फ़ॉर्म समीकरण को हल करने के लिए भी उपयोगी हो सकता है, हालांकि कुछ गैर-वैमानिक रूप का उपयोग कर हल करना आसान है।

चरणों

यदि आवश्यक हो, तो कट्टरपंथी हेरफेर के नियमों को फिर से पढ़ें और घातांक (वे एक ही बात हैं: जड़ें आंशिक शक्तियां हैं), क्योंकि उनमें से अधिकतर इस प्रक्रिया के लिए आवश्यक हैं। बहुपदों को छेड़छाड़ करने और सरलीकृत करने के लिए नियमों की भी समीक्षा करें तर्कसंगत अभिव्यक्ति, क्योंकि उन्हें सरल बनाने की भी आवश्यकता होगी

विधि 1
सही शक्तियां

आदर्श वर्गों को सरल बनाने वाले कणों को सरल बनाएं ये किसी भी संख्या का उत्पाद है जो कि खुद से गुणा करता है, जैसे कि 81, जो 9 x 9 का उत्पाद है। कट्टरपंथी के भीतर एक आदर्श वर्ग को सरल बनाने के लिए, केवल कट्टरपंथी से प्रतीक को हटाएं और वर्गमूल का परिणाम लिखें ।

उदाहरण के लिए, 121 एक आदर्श वर्ग है, क्योंकि 11x11 बराबर 121 है। इस प्रकार, आप वर्ग मूल प्रतीक को निकालकर √ (121) से 11 को सरल कर सकते हैं।
प्रक्रिया की सुविधा के लिए, पहले 12 परिपूर्ण वर्गों को याद रखें: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16,5 x 5 = 25,6 x 6 = 36,7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144

परिपूर्ण क्यूब्स वाले कणों को सरल बनाएं वे किसी भी संख्या का उत्पाद अपने आप में दो बार गुणा करती हैं, जैसे कि 27, जो 3 x 3 x 3 का उत्पाद है। एक पूर्ण घन के साथ एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, केवल कट्टरपंथी से प्रतीक को निकाल दें और इसके परिणाम लिखिए सही घन क्यूब रूट

उदाहरण के लिए, 343 एक परिपूर्ण घन है क्योंकि यह 7 x 7 x 7 का उत्पाद है। इसलिए, सही घन 343 का घन मूल 7 है।

विधि 2
कणों में तर्कसंगत घातांक को परिवर्तित करें

या, यदि आप चाहें तो कन्वर्ट अन्यथा (कभी-कभी इसके अच्छे कारण होते हैं), लेकिन √ (5) + 5 जैसे शब्दों का मिश्रण नहीं करते हैं^(3/2) उसी अभिव्यक्ति में मान लें कि आप जड़ संकेतन का उपयोग करने का निर्णय लेते हैं और n के वर्गमूल के लिए √ (n) का उपयोग करते हैं ³क्यूबिक रूट के लिए √ (एन)

आंशिक प्रतिपादक ढूंढें और इसे कट्टरपंथी समकक्ष, एक्स में परिवर्तित करें^{(ए / बी)} = एक्स की जड़ ख

यदि जड़ इंडेक्स एक अंश है, तो इसे से छुटकारा मिलें। उदाहरण के लिए, रूट (2/3) का 4 = √ (4)³ = 2³ = 8

नकारात्मक समीकरणों को उनके समकक्ष भिन्नों में परिवर्तित करें: एक्स^-y = 1 /^y

यह केवल निरंतर और तर्कसंगत प्रतिपादकों पर लागू होता है। यदि आपके पास 2 जैसी शब्द हैं^एक्स, उन्हें छोड़ दें, जैसा कि वे हैं, भले ही समस्या के संदर्भ में यह दर्शाया जाए कि एक्स आंशिक या नकारात्मक हो सकता है

समान पदों को मिलाएं और परिणामस्वरूप तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल करते हैं

विधि 3
कणों से भिन्न अंश निकालें

वैमाणिक रूप में पूर्णांक की जड़ों के संदर्भ में एक अंश की जड़ को व्यक्त करना आवश्यक है।

प्रत्येक कट्टरपंथी के लिए नीचे दिए गए शब्दों की जांच करें ताकि ये देखें कि क्या उनके पास अंश हैं। यदि हां,

पहचान √ (ए / बी) = √ (ए) / √ (बी) का उपयोग करते हुए दो कणों के बीच एक विभाजन द्वारा प्रतिस्थापित करें।

ऐसी पहचान का उपयोग न करें, यदि भाजक नकारात्मक है या नकारात्मक अभिव्यक्ति है जो नकारात्मक हो सकती है। उस मामले में, अंश को पहले सरल बनाएं

पूर्ण वर्ग है कि उत्पन्न होती हैं, यानी सरल बनाएँ, √ (5/4) (5) / √ (4) पर पहुंचने के लिए √ और √ (5) / 2 सरल करने के लिए कनवर्ट करें।

अन्य सरलीकरण करें, जैसे कि जटिल भिन्नों को कम करें, समान शर्तों, आदि को जोड़ना

विधि 4
कट्टरपंथी उत्पादों का मिश्रण

यदि आपके पास एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति है, उन्हें एक कट्टरपंथी में संयोजित करें निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग कर: √ (ए) * √ (बी) = √ (एबी) उदाहरण के लिए, √ (12) के साथ √ (2) * √ (6) को बदलें।

उपरोक्त पहचान, √ (ए) * √ (बी) = √ (एबी), गैर-नकारात्मक रेडिकैंड के लिए मान्य है। इसे लागू न करें यदि ए और बी ऋणात्मक हैं, क्योंकि इस तरह से, आप एक झूठे कथन करेंगे: √ (-1) * √ (-1) = √ (1) बाईं ओर -1 परिभाषा के द्वारा (या अपरिभाषित है, यदि आप जटिल संख्याओं को पहचानने से इनकार करते हैं), जबकि सही पक्ष 1 +1 है अगर ए या बी नकारात्मक हैं, तो पहले यह संकेत √ (-5) = i * √ (5) के साथ "ठीक" करें। यदि जड़ एक चर अभिव्यक्ति है जिसका संकेत संदर्भ से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, तो उसे छोड़ दें क्योंकि यह अब के लिए है आप सबसे सामान्य पहचान का उपयोग कर सकते हैं, √ (क) * √ (ख) = √ (sgn (क)) * √ (sgn (ख)) * √ (| अब |) है, जो सभी वास्तविक संख्या ए और बी के लिए मान्य है , लेकिन यह आम तौर पर साइन फ़ंक्शन की जटिलता को जोड़ने के लायक नहीं है।
ऐसी पहचान केवल तभी लागू होती है जब कणिकों का एक ही सूचकांक होता है। आप सामान्य रेडिकल गुणा कर सकते हैं, जैसे कि √ (5) *³√ (7), उन्हें एक सामान्य सूचकांक के साथ पहले व्यक्त करते हैं ऐसा करने के लिए, जड़ों को अस्थायी रूप से विभाजित प्रतिरूपों में परिवर्तित करें: √ (5) *³√ (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). फिर इस उत्पाद को 6125 के छठे रूट के बराबर बनाने के लिए उत्पाद नियम लागू करें।

विधि 5
रैडिकल से वर्ग कारक निकालें

व्यक्त अपने कारकों में एक क्रांतिकारी अभिव्यक्ति अपूर्ण है ये संख्या है कि उदाहरण के लिए एक और number- बनाने के लिए गुणा कर रहे हैं, 5:04 नंबर 20 वर्ष की दो कारकों एक अपूर्ण कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को विभाजित करने के लिए, नीचे सभी कारकों लिखते हैं कि संख्या (या हालांकि कई आप मिलता है, संख्या है अगर कर रहे हैं बड़े) जब तक आप एक आदर्श वर्ग नहीं मिलते।

उदाहरण के लिए, संख्या 45: 1, 3, 5, 9, 15 और 45 में सभी कारकों को सूचीबद्ध करने का प्रयास करें। 9 9 45 का एक कारक है जो एक पूर्ण वर्ग भी है (9 = 3²)। 9 x 5 = 45

उन कारकों को निकालें जो कट्टरपंथी के पूर्ण वर्ग की जड़ों हैं। 9 एक वर्गमूल है क्योंकि यह 3 x 3 का उत्पाद है। इसे कट्टरपंथी से बाहर निकालना और इसके सामने एक 3 डाल दिया, जिसमें 5 को कट्टरपंथी के अंदर छोड़ दिया गया। यदि आप 3 को "कट्टरपंथी" पर वापस लौटाते हैं, तो यह 9 बार फिर से पैदा करने के लिए खुद को गुणा करेगी, जो 5 को फिर से 45 बनाने के लिए गुणा करेगा। 5 की 3 जड़ सिर्फ 45 की जड़ कहने का एक सरल तरीका है।

यही है, √ (45) = √ (9 * 5) = √ (9) * √ (5) = 3 * √ (5)।

चर में एक पूर्ण वर्ग का पता लगाएं का वर्गमूल दूसरी शक्ति होगी | ए |. आप कर सकते हैं "ए" के लिए सरल बनाएं केवल अगर यह जानता है कि चर सकारात्मक है क्यूबिक रूट का तीसरी शक्ति को वर्गमूल के रूप में सरलीकृत किया जा सकता है वर्ग बार , क्योंकि जब आप चर को गुणा करते समय एक्सपोनेंट जोड़ते हैं, तो वर्ग बार बराबर है घन को

इस प्रकार, का सही वर्ग क्यूब है वर्ग।

वे चर को बाहर निकालें जो कट्टरपंथी के पूर्ण वर्ग हैं। फिर हड़पने वर्ग और इसे कट्टरपंथियों से हटा दें ताकि इसे एक में बदल सकें | ए | सरल। का सरलीकृत रूप क्यूब केवल है | ए | की जड़ .

इसी तरह की शर्तें जुटाइए और एक परिणाम के रूप में आने वाले तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं।

विधि 6
हर चीज को तर्कसंगत बनाना

विहित रूप के लिए आवश्यक है कि भाजक एक पूर्णांक हो, या एक बहुपद अगर इसमें अनिश्चितता हो

भाजक के रूप में एक कट्टरपंथी में एक शब्द से बना है, तो [x] / √ (5), के लिए अंश और है कि कट्टरपंथी द्वारा भाजक गुणा [x] * √ (5) / √ (5) * √ ( 5) = [x] * √ (5) / 5
- घन या बड़ी जड़ों के लिए, मूल के उचित शक्ति को गुणा करके भाजक तर्कसंगत बनाने के लिए। यदि हर भाषा है तो ³√ (5), अंकीय और भाजक से गुणा करें ³√ (5)².
भाजक राशि या ऐसे √ के रूप में वर्ग जड़ों का अंतर है तो (2) + √ (6), अंश और विपरीत संयुग्मित ऑपरेटर के साथ एक ही अभिव्यक्ति द्वारा भाजक गुणा। इस प्रकार, [x] / (√ (2) + √ (6)) = [x] (√ (2) -√ (6)) / (√ (2) + √ (6) √ (6)) फिर वर्ग अंतर पहचान का उपयोग करें [(a + b) (a-b) = a²-ख²] भाजक युक्तिसंगत करने के लिए, सरल बनाने (√ (2) + √ (6)) (√ (2) -√ (6)) = √ (2) ^ 2 - √ (6) ^ 2 = 2-6 = -4 ।
- यह कदम 5 + √ (3) जैसे निरूपणकर्ताओं के लिए भी काम करता है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक दूसरे पूर्णांक का वर्गमूल है (5 + √ (3)) = (5-√ (3)) / (5 + √ (3)) (5-√ (3)²-√ (3)²) = (5-√ (3)) / (25-3) = (5-√ (3)) / 22]
- यह विधि वर्ग जड़ों की एक राशि के लिए कार्य करती है, जैसे कि √ (5) -√ (6) + √ (7)। यदि आप इसे समूह (√ (5) -√ (6)) + √ (7) के रूप में समूहित करते हैं और गुणा (√ (5) -√ (6)) - √ (7), आपका उत्तर तर्कसंगत नहीं होगा, लेकिन आपको ए + बी * √ (30), जहां ए और बी तर्कसंगत हैं। फिर आप एक + बी * √ (30) के संयोजन के साथ प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं, और (a + b * √ (30)) (a-b * √ (30)) तर्कसंगत है। आप हर बार इस कवायद का उपयोग हर बार में कणों की संख्या कम करने के लिए कर सकते हैं, और कई बार उन सभी को खत्म कर सकते हैं।
- यह भी बड़ा हरों इस तरह के सातवें जड़ 9. पर 3 की चौगुनी रूट के रूप में जड़ों से युक्त के साथ काम करता है यह केवल अंश और संयुग्म का हर द्वारा भाजक गुणा। दुर्भाग्य से, हरसंभव संयुग्म खोजने की प्रक्रिया इतनी स्पष्ट नहीं है इसे समझने के लिए, बीजीय संख्या सिद्धांत की अच्छी किताब देखें।

अब भाजक तर्कसंगत हो गया है, लेकिन अंश एक गड़बड़ है। आपके पास शुरुआती संख्या और अधिक से अधिक तीन गुणा तक के संयुग्मित होगा। उत्पाद का विस्तार करें जैसा कि आप एक बहुपद उत्पाद के साथ करेंगे देखें कि क्या कुछ रद्द या सरलीकृत किया जा सकता है और यदि संभव हो तो समान शर्तें संयोजित करें।

यदि निदेषक एक नकारात्मक पूर्णांक है, तो अंश और अंश को 1 से गुणा करके इसे सकारात्मक बनाओ।

युक्तियाँ

आप उन साइटों की खोज कर सकते हैं जो आपके लिए कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को आसान बनाते हैं। बस क्रांतिकारी में समीकरण टाइप करें और सरलीकृत उत्तर दिखाने के लिए Enter दबाएं।
उपरोक्त चरणों में से कई सरल समस्याओं पर उपयोग नहीं किया जाएगा। अधिक जटिल के लिए, कुछ चरणों को एक से अधिक बार लागू करने की आवश्यकता हो सकती है सरलीकरण लगातार बनाने की समस्या को हल करते हुए और अगर यह परिचय में बताए गए विहित प्रपत्र के मानदंडों पर खरे उतरने अंतिम जवाब देखने के लिए बनाते हैं। यदि जवाब वैधानिक है, तो आप कर चुके हैं जब तक यह विहित नहीं होता है, इन चरणों में से एक आपको बताएगा कि उस आकार को प्राप्त करने के लिए अभी भी क्या करना होगा।
अधिकांश संदर्भ "पसंदीदा विहित प्रपत्र" करने के लिए एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति की भी जटिल संख्या पर लागू होता है (i = √ (-1))। यहां तक कि अगर वे एक कट्टरपंथी के बजाय एक साथ लिखे गए हैं, तो मैं हर किसी में छोड़ने से बचें।
उपरोक्त निर्देशों का एक हिस्सा मानता है कि सभी कणिक वर्ग जड़ों हैं। सामान्य सिद्धांतों, घन या उच्चतर जड़ों के लिए ही कर रहे हैं, हालांकि उनमें से कुछ, विशेष रूप से भाजक युक्तिसंगत बनाने के लिए, लागू करने के लिए और अधिक कठिन है। आपको यह भी तय करना होगा कि आप क्या करना चाहते हैं ³√ (4) या ³√ (2)² (आपके पाठ्यपुस्तकों के आधार पर प्रपत्र के आधार पर)
शिक्षा का भाग, शब्द "विहित प्रपत्र" गलत तरीके से उपयोग करता है, जबकि वास्तव में केवल सामान्य रूप का वर्णन किया गया है। अंतर यह है कि विहित प्रपत्र की आवश्यकता होगी है 1 + √ (2) या √ (2) +1 और कहते हैं कि अन्य, अयोग्य है, जबकि सामान्य रूप से मानता है कि आप, पाठक, बहुत चालाक पहचान करने के लिए कि दोनों संख्याएं है "जाहिर है उसी", भले ही वे उसी तरह नहीं लिखे गए हों "स्पष्ट" इस मामले में इस तरह के अतिरिक्त के रूप में केवल गणित गुण का उपयोग कर का मतलब है विनिमेय, बीजीय गुण नहीं (√ (2) एक्स के एक गैर नकारात्मक जड़ है^2-2)। हमें उम्मीद है कि पाठकों ने शब्दावली के इस छोटे से दुरुपयोग को माफ़ कर दिया होगा।
निर्देश अस्पष्ट या विरोधाभासी प्रतीत हैं, सभी सुसंगत और स्पष्ट चरणों लागू करते हैं और जिस तरह से अपनी पुस्तक में कट्टरपंथी भाव की तरह अधिक देखने के लिए चुनें।

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