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भास्कर फॉर्मूला कैसे प्राप्त करें

बीजगणित छात्र को सीखना चाहिए सबसे महत्वपूर्ण उपकरण में से एक है भास्कर

, वह है, एक्स = (- बी ± √ (बी 2 - 4 एसी)) / 2 ए. इस सूत्र के साथ, यह बहुत सरल तरीके से वर्ग (या दूसरी डिग्री) समीकरणों को हल करना संभव है - बस गुणांक के मूल्यों की जगह , ख और ग और अंकगणित आपरेशनों को हल करें। हालांकि "पता" सूत्र ज्यादातर छात्र के लिए पर्याप्त है, "समझ" यह कैसे प्राप्त किया जाता है (दूसरे शब्दों में, जहां यह से आता है) कुछ पूरी तरह से अलग है। वास्तव में, सूत्र नामक तकनीक जो गणित के क्षेत्र में कई अन्य अनुप्रयोगों है "वर्ग को पूरा करने" का उपयोग कर ली गई है।

चरणों

विधि 1
फार्मूला को से प्राप्त करें भास्कर

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द्विघात समीकरण के सामान्य रूप से आरंभ करें सभी द्विघात (या दूसरी डिग्री) समीकरणों का रूप है कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0. से फार्मूला प्राप्त करना शुरू करने के लिए भास्कर, कागज के एक शीट पर सामान्य समीकरण लिखो, इसके नीचे पर्याप्त जगह छोड़ दें। गुणांक को प्रतिस्थापित न करें , ख या ग संख्याओं से - हम समीकरण के सामान्य रूप से काम करना चाहते हैं।
  • शब्द "द्विघात" इस तथ्य को संदर्भित करता है कि शब्द एक्स वर्ग में उठाया जाता है- "क्वाड" उसी लैटिन रैडिकल से आता है जो "स्क्वायर" में दिखाई देता है। गुणांक के लिए प्रयुक्त किए गए मूल्यों के बावजूद , ख और ग, अगर एक समीकरण द्विपद रूप में लिखा जा सकता है, तो यह एक द्विघात समीकरण होगा। एकमात्र अपवाद तब होता है जब शून्य है, इस मामले में, शब्द के रूप में एक्स2 समीकरण से गायब हो जाता है, यह अब द्विघात नहीं होगा
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    समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करें . सूत्र से प्राप्त करने के लिए भास्कर, यह शब्द को अलग करने के लिए आवश्यक है एक्स समानता के एक तरफ ऐसा करने के लिए, हम मूलभूत बीजगणित में पहले से ही ज्ञात रद्दीकरण पद्धति का उपयोग करेंगे, जो समानता के दूसरी तरफ समीकरण से शेष चर को धीरे-धीरे आगे बढ़ने के लिए करेंगे। चलो समीकरण के बाईं तरफ को चर से विभाजित करके शुरू करते हैं . संचालन के बाद, नीचे दिए गए रेखा में नया समीकरण लिखें।
    • दोनों पक्षों को विभाजित करके , विभाजन की विभागीय संपत्ति को लागू करने के लिए मत भूलना, जिसका अर्थ है कि समीकरण के बाईं तरफ को विभाजित करना प्रत्येक शब्द को व्यक्तिगत रूप से विभाजित करने के समान है
    • संचालन के बाद, हम समीकरण पर पहुंचते हैं एक्स2 + (बी / ए) एक्स + सी / ए = 0. ध्यान दें कि जो शब्द को गुणा करता है एक्स2 रद्द कर दिया गया था और समीकरण का सही पक्ष शून्य रहता है (शून्य शून्य से शून्य के बराबर किसी भी संख्या से विभाजित शून्य)।
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    घटाना सी / ए समीकरण के दोनों पक्ष अब आइए स्वतंत्र अवधि को खत्म कर दें सी / ए समीकरण के बाईं ओर इसके लिए, यह समीकरण के दोनों ओर से घटाना पर्याप्त है।
    • इस ऑपरेशन के बाद, हमारे पास समीकरण होगा एक्स2 + (बी / ए) एक्स = -सी / ए. अभी भी दो शर्तें हैं एक्स समीकरण के बाईं ओर, लेकिन सही पक्ष पहले से ही आकार लेना शुरू कर रहा है।
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    कुछ ख2/ 4 ए2 समीकरण के दोनों किनारों पर यह यहाँ से है कि इस प्रक्रिया को थोड़ा अधिक जटिल हो जाता है समीकरण के बाईं ओर हमारे पास दो अलग-अलग एक्स शर्तें हैं: x2 और एक एक्स पहली नज़र में यह सरल करना असंभव लगता है क्योंकि बीजगणित के नियमों को हम अलग-अलग प्रतिपादकों से चर के साथ शब्दों को जोड़ने से रोकते हैं। हालांकि, हम अपने संकल्प को जारी रखने के लिए "पूर्ण वर्ग" नामक एक व्यावहारिक पद्धति का उपयोग करेंगे।
    • वर्ग को पूरा करने के लिए, जोड़ें ख2/ 4 ए2 समीकरण के दोनों किनारों पर याद रखें कि बुनियादी बीजगणित हमें समानता के एक तरफ से कुछ भी जोड़ने की के बाद से दूसरे पक्ष पर एक ही बात को जोड़ें की अनुमति देता है, तो यह ऑपरेशन पूरी तरह से वैध है। आपका समीकरण इस तरह दिखना चाहिए: एक्स2+(बी / ए) एक्स + बी2/ 4 ए2 = -सी / ए + बी2/ 4 ए2.
    • बेहतर ढंग से समझने के लिए कि कैसे स्क्वायर पूरा करने का तरीका काम करता है, अगले अनुभाग पर जाएं।
  • चित्र शीर्षक द वर्डेटिक फॉर्मूला चरण 5
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    समीकरण के बाईं तरफ फैक्टर अब इसे सरल बनाने के लिए बाईं तरफ ध्यान केंद्रित करें। समीकरण की बाईं ओर इस तरह दिखना चाहिए: एक्स2+(बी / ए) एक्स + बी2/ 4 ए2. अगर हम शब्द "(बी / ए)" और "बी" को देखते हैं2/ 4 ए2"गुणांक" एम "और" एन "के रूप में, क्रमशः, हमारे समीकरण एक्स बन सकते हैं2 + मीटरएक्स + n, जिसका अर्थ है कि यह (x + पी)2, जहाँ पी बराबर है मीटर 1/2 से गुणा और का वर्गमूल n.
    • इसका मतलब है कि हम समीकरण के बाईं ओर, एक्स को विभाजित कर सकते हैं2+(बी / ए) एक्स + बी2/ 4 ए2, प्राप्त करने के लिए (एक्स + (बी / 2 ए))2.
    • यह सच है क्योंकि (एक्स + (बी / 2 ए))2 = x2 + 2 (बी / 2 ए) एक्स + (बी / 2 ए)2 = x2+(बी / ए) एक्स + बी2/ 4 ए2, हमारे मूल समीकरण
    • फैक्टरिंग एक मूल्यवान बीजगणित उपकरण है, लेकिन कभी-कभी यह काफी जटिल हो सकती है। क्या फैक्टरिंग है और इसका इस्तेमाल कैसे करें, इस बारे में अधिक विस्तृत व्याख्या के लिए लिंक उपरोक्त लेख की
  • चित्र शीर्षक द वर्ड्राटिक फॉर्मुला चरण 6 को प्राप्त करें
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    सामान्य विभाजक का उपयोग करें 4a2 समीकरण के दाईं ओर बाईं तरफ अब भूल जाओ और दाईं ओर स्थित शब्दों के लिए एक आम विभाजक खोजने पर ध्यान केंद्रित करें। आपके लिए सही पर आंशिक शब्दों को सरल बनाने के लिए, उनके पास एक समान विभाजन होना चाहिए।
    • यह ऑपरेशन बहुत सरल है- -सी / ए द्वारा 4 ए / 4 ए पाने के लिए -4 एसी / 4 ए2. अब, समीकरण का सही पक्ष होना चाहिए -4 एसी / 4 ए2 + ख2/ 4 ए2.
    • ध्यान दें कि इन शब्दों में अब एक ही निचली संख्या है 4a2, इसलिए हम उन्हें जोड़ सकते हैं और उन तक पहुंच सकते हैं (ख2 - 4 एसी) / 4 ए2.
    • आपको समीकरण के बाईं ओर इस गुणा को दोहराने की ज़रूरत नहीं है। कैसे एक शब्द के द्वारा गुणा करना 4 ए / 4 ए (किसी भी गैर शून्य संख्या अपने आप में विभाजित एक के बराबर है) एक से यह गुणा रूप में ही है, हम समीकरण बदल रही हैं, यह जल्द ही समानता के दूसरी ओर की भरपाई के लिए कोई जरूरत नहीं होगी।
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    समीकरण के दोनों किनारों का वर्गमूल लो। हमारा समीकरण अब इस प्रकार दिखना चाहिए: (एक्स + बी / 2 ए)2 = (बी2 - 4 एसी) / 4 ए2). चूंकि हमारा लक्ष्य समानता के एक तरफ से एक्स को अलग करना है, इसलिए अगला कदम दोनों पक्षों से वर्गमूल लेना है।
    • इस ऑपरेशन के बाद, हमारे पास होगा एक्स + बी / 2 ए = ± √ (बी2 - 4 एसी) / 2 ए. प्लस या माइनस साइन (नारंगी संख्याएं भी चुकानी जा सकती हैं) को मत भूलें।
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    अंत में, घटाना बी / 2 ए समीकरण के दोनों किनारों पर इस बिंदु पर, शब्द x बाईं ओर लगभग अकेला है अब आपको इसे पूरी तरह से अलग करने के लिए दोनों पक्षों पर बी / 2 ए घटाना होगा। संचालन के बाद, हम समीकरण पर पहुंचते हैं एक्स = (-बी ± √ (बी2 - 4ac)) / 2 ए. क्या यह परिचित दिखता है? बधाई हो, आपने अभी से सूत्र अर्जित किया है भास्कर!
    • चलिए उस अंतिम चरण को थोड़ा और साझा करें। जब घटाना बी / 2 ए दोनों पक्षों पर, हमारे पास होगा एक्स = ± √ (बी2 - 4 एसी) / 2 ए-बी / 2 ए जैसे बी / 2 ए और √ `(बी2 - 4ac) / 2a में आम भाजक 2 ए है, हम उन्हें जोड़ सकते हैं और विभाजन ± √ (बी2 - 4ac) -b / 2a, या सरल बनाने के द्वारा, (बी √ ± (ख2 - 4ac)) / 2 ए.

    • विधि 2
    जानें कि कैसे "पूरा वर्ग"

    चित्र शीर्षक द वर्ड्राटिक फॉर्मूला चरण 9 से प्राप्त करें
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    समीकरण से शुरू करें (x + 3)2 = 1 यदि आप सूत्र से प्राप्त करने के लिए इस्तेमाल की गई विधि से परिचित नहीं थे भास्कर जैसा कि आप इस ट्यूटोरियल को पढ़ना शुरू करते हैं, आपको शायद अभी भी "चौरस पूर्ण" साधन के बारे में थोड़ा भ्रमित होना चाहिए। चिंता न करें - इस खंड में, आप इस प्रक्रिया को अच्छी तरह समझेंगे। चलो एक कारगर बहुपद समीकरण के साथ शुरू करते हैं: (एक्स + 3)2 = 1. निम्नलिखित चरणों में, हम इस सरल समीकरण को एक उदाहरण के रूप में समझाएंगे ताकि यह समझा जा सके कि "सूत्र पूरा करने से" वर्ग को पूरा करने के लिए क्यों आवश्यक है? भास्कर.
  • चित्र शीर्षक द वर्ड्राटिक फॉर्मूला स्टेप 10 से प्राप्त करें
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    की जड़ों का निर्धारण एक्स. (X + 3) की जड़ें ढूंढें2 = 1 अपेक्षाकृत सरल है - बस समानता के दोनों पक्षों का वर्गमूल लेना और फिर अलग करना एक्स. निम्न चरण-दर-चरण समाधान देखें:
    • (एक्स + 3)2 = 1
      (एक्स + 3) = √ 1
      x + 3 = ± 1
      x = ± 1-3
      x = -2, -4
  • चित्र शीर्षक द वर्डेटिक फॉर्मूला चरण 11
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    समीकरण का विस्तार करें हमने पहले ही जड़ों को पाया है एक्स, लेकिन हमने अभी तक पूरा नहीं किया है इस बार हम समीकरण (एक्स + 3) "खोलेंगे"2 = 1, प्रपत्र (x + 3) (x + 3) = 1 में यह लिख कर हम समीकरण शर्तों कोष्ठक को एक साथ जोड़ का विस्तार होगा। गुणन के वितरणात्मक संपत्ति को लागू करना, हम गुणा पहले कोष्ठक के पहले सदस्य दूसरे ब्रैकेट के पहले सदस्य हैं और फिर दूसरी parêntese- के दूसरे सदस्य तो दूसरी ब्रैकेट के पहले सदस्य हैं और फिर दूसरी पहले कोष्टक के दूसरे सदस्य गुणा ।
    • वितरण संपत्ति को लागू करना और संचालन को हल करना, हमारे पास होगा:
      (एक्स + 3) (एक्स + 3)
      (x × x) + (x × 3) + (3 × x) + (3 × 3)
      एक्स2 + 3x + 3x + 9
      एक्स2 + 6x + 9
  • चित्र शीर्षक से द वर्डेटिक फॉर्मूला चरण 12 को प्राप्त करें
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    समीकरण को मानक रूप में रखें। अब, हमारे समीकरण निम्नानुसार होना चाहिए: एक्स2 + 6x + 9 = 1. ध्यान दें कि यह लगभग द्विघात समीकरण के मानक रूप के बराबर है। मानक रूप में रहने के लिए, हमें समीकरण के एक तरफ शून्य की आवश्यकता है। जब घटाना 1 दोनों पक्षों पर, हमारे पास होगा एक्स2 + 6x + 8 = 0.
  • चित्र शीर्षक द वर्ड्राटिक फॉर्मूला चरण 13 से प्राप्त करें
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    Recapping। चलो हम क्या जानते हैं की समीक्षा करें:
    • समीकरण (x + 3)2 = 1 के लिए दो जड़ों हैं एक्स: -2 और -4.
    • समीकरण (x + 3)2 = 1 एक्स के रूप में फिर से लिखा जा सकता है2 + 6x + 9 = 1, या फिर फॉर्म x में भी2 + 6x + 8 = 0 (द्विघात समीकरण)
      इसलिए, द्विघात समीकरण x2 + 6x + 8 = 0 है -2 और -4 के लिए जड़ों के रूप में एक्स. यदि आप इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं तो एक्स, आप देखेंगे कि दोनों ने समीकरण को चुना है, इसलिए वे द्विघात रूप के लिए भी सही हैं।
  • चित्र शीर्षक द वर्डेटिक फॉर्मूला चरण 14
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    "पूर्ण वर्ग" कैसे करें जैसा कि हमने देखा है, यह फार्म (x + a) के पास जाने के बाद द्विघात समीकरण को हल करना बहुत आसान है2 = बी हालांकि, ताकि इसके कारक के रूप में एक द्विघात समीकरण को बदलने के लिए में, यह आवश्यक जोड़ सकते हैं या समीकरण के दोनों ओर से किसी भी मूल्य घटाना हो सकता है। सामान्य, के रूप एक्स एक समीकरण के लिए में2 + bx + c = 0, गुणांक मान "c" के बराबर होना चाहिए (बी / 2)2 ताकि समीकरण को कारगर बनाया जा सके (x + (b / 2))2. अगर यह मामला नहीं है, तो हमें समीकरण के प्रत्येक पक्ष से संख्याओं को जोड़ना या घटाना होगा, जब तक कि हम समीकरण का कारक न हो जाए। हम यही कहते हैं वर्ग को पूरा करें, और यह वही है जो हमने पिछले अनुभाग में किया था जिससे सूत्र प्राप्त किया गया भास्कर.
    • यहां द्विघात समीकरणों के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं - ध्यान दें कि उनमें से प्रत्येक में, गुणांक ग गुणांक मूल्य के बराबर है ख दो से विभाजित है और फिर स्क्वायर।
      एक्स2 + 10x + 25 = 0 = (एक्स + 5)2
      एक्स2 - 18x + 81 = 0 = (एक्स + -9)2
      एक्स2 + 7x + 12.25 = 0 = (एक्स + 3.5)2
    • यहां एक द्विघात समीकरण का उदाहरण दिया गया है जहां गुणांक ग आधा गुणांक के वर्ग के लायक नहीं ख. इस मामले में, हमें समानता के प्रत्येक पक्ष पर एक मूल्य जोड़ने की आवश्यकता है, ताकि हम फर्क़िसाइज कर सकें- दूसरे शब्दों में, हमें "वर्ग पूर्ण" करना होगा।
      एक्स2 + 12x + 29 = 0
      एक्स2 + 12x + 29 + 7 = 0 + 7
      एक्स2 + 12x + 36 = 7
      (एक्स + 6)2 = 7

    • आवश्यक सामग्री

    • पेंसिल (या पेंसिल) और पेपर

    सूत्रों और कोटेशन

    और पढ़ें ... (3)
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