कैसे दूसरा डिग्री बहुपद (द्विघात समीकरण) को फैक्टर करने के लिए

यदि आपके पास काफी सरल बहुपद है, तो आप इसे देखकर अपने आप को कारक समझ सकते हैं। उदाहरण के लिए, अभ्यास करने के बाद, कई गणितज्ञों की पहचान करने में सक्षम हैं कि अभिव्यक्ति 4x² + 4x + 1 इस अभिव्यक्ति के साथ पहले से बहुत कठिन काम करने के बाद कारकों (2x + 1) और (2x + 1) है लेकिन निश्चित रूप से यह अधिक जटिल बहुपदों के साथ इतना आसान नहीं होगा। इस उदाहरण में, हम एक कम सामान्य अभिव्यक्ति का उपयोग करेंगे:

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खाली कोष्ठकों के दो सेट को इकट्ठा करें आप उन्हें प्रत्येक अभिव्यक्ति के स्थिरांक से भर देंगे:

(एक्स) (एक्स)

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मूल्य के लिए संभावित कारकों के साथ एक्स के सामने रिक्त स्थान भरें . शब्द के लिए इस्तेमाल किया उदाहरण में, 3x², केवल एक संभावना है:

(3x) (1x)

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स्थिरांकियों के लिए कुछ कारकों के साथ एक्स के बाद दो जगहों को भरें। कल्पना कीजिए कि आप नंबर 8 और 1 चुनते हैं। उन्हें नीचे लिखें:

(3x 8) (एक्स 1)

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यह तय करें कि कौन सी संकेत (जोड़ या घटाव) एक्स के चर और संख्याओं के बीच चलना चाहिए। मूल अभिव्यक्ति में चिन्हों के आधार पर, यह पता लगाना संभव है कि स्थिरांक के लक्षण क्या होना चाहिए। चलो दो स्थिरांकों को दो कारकों के लिए कहते हैं ज और कश्मीर:

अगर कुल्हाड़ी² + बीएक्स + सी, फिर (एक्स + एच) (एक्स + के)
अगर कुल्हाड़ी² - बीएक्स-सी या कुल्हाड़ी² + बीएक्स - सी, फिर (एक्स - एच) (एक्स + के)
अगर कुल्हाड़ी² - बीएक्स + सी, फिर (एक्स - एच) (एक्स - कश्मीर)
उदाहरण के लिए, 3x² + 2x - 8, संकेत होना चाहिए: (एक्स - एच) (एक्स + के), दो कारकों में जिसके परिणामस्वरूप:

(3x + 8) और (एक्स -1)

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वितरण संपत्ति का उपयोग करके विकल्पों का परीक्षण करें प्रदर्शन करने वाला पहला त्वरित परीक्षण यह देखना है कि क्या माध्यम की शर्तें सही मूल्यों के अनुरूप हैं। यदि वे नहीं हैं, तो आपने गलत कारकों को चुना हो सकता है ग. आइए उत्तर का परीक्षण करें:

(3x + 8) (एक्स -1)
गुणन करते समय, आपको मिलेगा:

3x² - 3x + 8x - 8
समान अभिव्यक्ति (-3x) और (8x) जोड़कर इस अभिव्यक्ति को सरल करके, आप प्राप्त करते हैं:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8
अब हम जानते हैं कि हमें गलत कारकों की पहचान करने की जरूरत है:

3x² + 5x - 8 ≠ 3x² + 2x - 8

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यदि आवश्यक हो तो कारकों को बदलें इस्तेमाल किया उदाहरण में, हम 1 और 8 की जगह 2 और 4 का उपयोग करने की कोशिश करेंगे:

(3x + 2) (एक्स - 4)
अब, शब्द ग बराबर -8, लेकिन बाहरी / आंतरिक उत्पाद (3x * -4) और (2 * x) बराबर -12 x और 2x, जो सही शब्द बनाने के लिए संयुक्त नहीं होगा ख + 2x का

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x

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यदि आवश्यक हो तो ऑर्डर रिवर्स करें चलो 2 और 4 की कोशिश कर रहे हैं:

(3x + 4) (एक्स -2)
अब, शब्द ग (4 * 2 = 8) अभी भी सही है, लेकिन बाह्य / आंतरिक उत्पाद -6x और 4x उन्हें संयोजन करके:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2xहम 2x के करीब हैं, लेकिन संकेत गलत है।

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यदि आवश्यक हो तो संकेतों की जांच करें उसी क्रम को रखें, लेकिन शून्य चिह्न के साथ एक को बदलें:

(3x-4) (एक्स + 2)
अब, शब्द ग अभी भी सही है, लेकिन बाह्य / आंतरिक उत्पाद (6x) और (-4 x) हैं कैसे करें:

6x - 4x = 2x
2x = 2xमूल समस्या के सकारात्मक 2x शब्द को पहचानना अब संभव है। ये सही कारक होना चाहिए

यह विधि शर्तों के सभी संभावित कारकों को पहचानती है और ग और उनका पता लगाने के लिए कारकों को क्या होना चाहिए। यदि संख्या बहुत बड़ी है या अन्य विधियां अधिक जटिल लगती हैं, तो इस पद्धति का उपयोग करें। उदाहरण का उपयोग करते हैं:

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शब्द के मूल्य की खोज करें ख फैक्टरिंग और परीक्षण उत्पाद संख्या के दो कारक खोजने के लिए आवश्यक है * ग और शब्द के बराबर भी हैं ख (13) जब एक साथ जोड़ा गया

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

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पद के योग के रूप में समीकरण में प्राप्त दो नंबरों को बदलें ख. चलो का उपयोग करें कश्मीर और ज प्राप्त दो नंबरों का प्रतिनिधित्व करने के लिए, 4 और 9:

कुल्हाड़ी² + केएक्स + एचएक्स + सी
6x² + 4x + 9x + 6

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समूहिंग द्वारा बहुपद का कारक समीकरण को व्यवस्थित करें ताकि आप पहले दो और पिछले दो शब्दों के सबसे बड़े सामान्य कारक में कारक बना सकें। दोनों तथ्यात्मक समूहों को समान होना चाहिए। सबसे बड़ी सामान्य कारकों को जोड़ें और उन तथ्यों वाले समूह के बगल में कोष्ठकों में रखें- परिणाम दो कारक होंगे:

6x² + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

अपघटन के समान, "ट्रिपल स्टार्ट" विधि शर्तों के उत्पादों के संभावित कारकों की जांच करती है और ग, तो उनका उपयोग करने के लिए मूल्य का पता लगाएं ख. एक उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित समीकरण पर विचार करें:

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इन नंबरों के साथ दो नंबर पाएं, क्योंकि उत्पाद और योग शब्द के बराबर हैं ख. यह कदम अपघटन पद्धति के समान है - आपको निरंतरों के लिए अभ्यर्थियों का परीक्षण और अस्वीकार करना चाहिए। शब्दों का उत्पाद और ग 16 है, और शब्द ग बराबर 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

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इन दो नंबरों को लें और "ट्रिपल मैच" फार्मूले में उनके प्रतिस्थापन का परीक्षण करें। पिछले चरण से दो नंबर लें - चलो उन्हें फोन करें ज और कश्मीर - और उन्हें उस अभिव्यक्ति में डाल दिया है:

(कुल्हाड़ी + एच) (कुल्हाड़ी + के)) / a

इस मामले में, हम प्राप्त करेंगे:

(8x + 8) (8x + 2)) / 8

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देखें कि अंश में दो पदों में से कौन सा समान रूप से विभाज्य होगा . इस उदाहरण में, हम यह जांच कर रहे हैं कि (8x + 8) या (8x + 2) को 8 से विभाजित किया जा सकता है। (8x + 8) 8 से विभाज्य है, इसलिए हम उस शब्द को विभाजित करते हैं और दूसरों को छोड़ दें जैसे वे हैं।

(8x + 8) = 8 (x + 1)
शब्द हम इस मामले में बचत कर रहे हैं शब्द द्वारा विभाजित शेष है : (एक्स + 1)

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एक या दोनों शब्दों का सबसे बड़ा सामान्य कारक लें, यदि कोई हो इस उदाहरण में, दूसरा शब्द 8x + 2 = 2 (4x + 1) के बाद से उसके सामान्य कारक संख्या 2 के रूप में है। इस उत्तर को पिछले चरण में पहचाने गए शब्द के साथ जोड़ लें। ये समीकरण के कारक हैं

2 (एक्स + 1) (4x + 1)

बहुपदों में कुछ गुणांक को "जड़" या दो संख्याओं के उत्पाद के रूप में पहचाना जा सकता है। इन जड़ों की पहचान करने से आप बहुपदों को और अधिक तेज़ी से फैला सकते हैं। समीकरण पर विचार करें:

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पहचानें कि क्या समीकरण के गुणांक वर्ग संख्या हैं इस विधि का उपयोग करने के लिए, आपको शर्तों के सटीक वर्गमूल को लेने में सक्षम होना चाहिए। ध्यान दें कि घटाव के संकेत छोड़ दिए जाते हैं, क्योंकि ये संख्याएं चौराइयां हैं जो दो सकारात्मक या नकारात्मक संख्याओं के उत्पाद हो सकती हैं।

9x² = 3x * 3x और 4 = 2 * 2

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पहचाने गए वर्ग की जड़ों का उपयोग, कारकों को लिखें के मूल्यों ले लो और ग ऊपर कदम ( = 9 और ग = 4) और उनमें से वर्ग जड़ों की गणना - √ = 3 और √ग = 2. वे अभिव्यक्ति के कारक के गुणांक होंगे:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x2)

अगर अन्य तरीकों में असफल हो और समीकरण एक समान रूप से नहीं हो, तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

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के मूल्य की गणना एक्स. आपको दो मानों को प्राप्त करना होगा एक्स. जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, हमें दो उत्तर मिलते हैं:


x = -2 + √ (3) या x = 2 - √ (3)

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के मूल्यों का उपयोग करें एक्स कारकों की गणना करने के लिए बदलें एक्स. वे कारक होंगे। अगर हम दो जवाबों को पहचानते हैं ज और कश्मीर, आपको निम्नलिखित कारकों को लिखना होगा:

(एक्स - एच) (एक्स - के)
इस मामले में, अंतिम उत्तर है:

(एक्स + 2 + √ (3)) (एक्स + (2 + √ (3))

यदि इसका उपयोग करना संभव है, तो एक रेखांकन कैलकुलेटर फैक्टरिंग प्रक्रिया को बहुत आसान बनाता है, खासकर परीक्षणों में। निम्नलिखित निर्देश एक ग्राफ़िंग कैलकुलेटर के लिए हैं I निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

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कैलकुलेटर में समीकरण का ग्राफ इकट्ठा करें। समीकरण में प्रवेश करने के बाद, [GRAPH] कुंजी दबाएं - आपको समीकरण का प्रतिनिधित्व करने वाला एक चाप दिखना चाहिए (और यह एक चाप होगा, क्योंकि हम बहुपदों के साथ काम कर रहे हैं)।

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देखें कि चाप अक्ष को कहाँ छेदते हैं एक्स. चूंकि बहुपद समीकरण आमतौर पर कुल्हाड़ी के रूप में लिखा जाता है² + bx + c = 0, ये दो मान हैं एक्स जो शून्य के बराबर अभिव्यक्ति बनाते हैं:

(-1.0), (2.0)
x = -1, x = 2

• यदि आप नहीं पहचान सकते कि ग्राफ कहां से पार करता है एक्स, प्रेस [2] और फिर [ट्रेसे] प्रेस [2] या "शून्य" चुनें। कर्सर को छोर के बाईं ओर स्लाइड करें और [ENTER] दबाएं कर्सर को छोर के दाईं ओर स्लाइड करें और [ENTER] दबाएं कर्सर को निकटतम चौराहे पर स्लाइड करें और [ENTER] दबाएं कैलकुलेटर के मूल्य का पता चल जाएगा एक्स. अन्य चौराहे के लिए यही करें

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बदलें एक्स दो तथ्यात्मक अभिव्यक्तियों में पिछले चरण में प्राप्त किया गया। दो का उपयोग करते समय एक्स (ज और कश्मीर), अभिव्यक्ति का प्रयोग किया जाएगा:

(एक्स - एच) (एक्स - के) = 0
इसलिए, दो कारक होना चाहिए:

(एक्स - 2) = (एक्स + 1) (एक्स - 2)