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फैक्टर टोरोमिअल्स कैसे करें

एक त्रिमितीय एक बीजीय अभिव्यक्ति है जो तीन शब्दों से बना है। आप संभवतः द्विघात त्रिमितीय फर्क़ों को सीखना सीखेंगे, जो कि कुंडली में लिखे गए trinomials हैं2

+ बीएक्स + सी। कई चालें हैं जो कि विभिन्न प्रकार के द्विघात trinomials पर लागू किया जा सकता है, लेकिन आप अभ्यास के साथ बेहतर और तेज हो जाएगा। अधिक से अधिक डिग्री के बहुपद, जैसे शब्दों के साथ3 या एक्स4, वे हमेशा एक ही तरीके से हल नहीं किया जा सकता है, लेकिन आप अक्सर उन्हें समस्याओं है कि किसी भी द्विघात सूत्र के साथ हल किया जा सकता में बदल जाने की सरल फैक्टरिंग या शब्दों के प्रतिस्थापन का सहारा कर सकते हैं।

चरणों

विधि 1
एक्स फैक्टरिंग2 + बीएक्स + सी

पिक्चर शीर्षक फैक्टर टोरोमिअल्स चरण 1
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वितरण संपत्ति जानें (जिसे अंग्रेजी में भी कहा जाता है), (x + 2) (x + 4) जैसे अभिव्यक्तियों को बढ़ाना शुरू करने से पहले, यह जानना अच्छा है कि यह कैसे काम करता है:
  • गुणा करें 1 शर्तें: (एक्स+2) (एक्स+4) = एक्स2 + __
  • की शर्तों की गुणा करें बाहर: (एक्स+2) (एक्स +4) = x2+4x + __
  • की शर्तों की गुणा करें अंदर: (एक्स +2) (एक्स+4) = एक्स2+4x +2x + __
  • गुणा करें अंतिम शर्तें: (एक्स +2) (एक्स +4) = x2+4x + 2x +8
  • सरलीकृत करें: x2+4x + 2x+8 = एक्स2+6x+8
  • इमेज का शीर्षक फैक्टर टोरोमिअल्स स्टेप 2
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    फर्कराइज़ेशन को समझें जब आप वितरण के उपयोग से एक दूसरे के साथ दो द्विपदताएं गुणा करते हैं, तो आप एक त्रिकोणीय (तीन शब्दों के साथ अभिव्यक्ति) के रूप में समाप्त होते हैं एक्स2+खएक्स +ग, जिसमें "a", "b" और "c" सामान्य संख्या हैं। यदि आप उसी तरह से एक समीकरण के साथ शुरू करते हैं, तो आप इसे वापस दो द्वि-आयामों में फेंक सकते हैं।
    • यदि समीकरण उस क्रम में लिखा नहीं गया है, तो पदों को उचित स्थिति में ले जाएं। उदाहरण के लिए, फिर से लिखना 3x - 10 + x2 जैसे एक्स2 + 3x - 10.
    • सबसे बड़ा एक्सपोनेंट 2 है (एक्स2, इस अभिव्यक्ति को "द्विघात" कहा जाता है
  • छवि का शीर्षक फैक्टर टोरोमिअल्स चरण 3
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    प्रदर्शित विधि की प्रतिक्रिया के लिए एक स्थान रिजर्व करें। अभी के लिए, बस लिखो (__ __) प्रतिक्रिया में समर्पित अंतरिक्ष में हम इन क्षेत्रों को जल्द से जल्द भर देंगे
    • शर्तों के बीच अभी भी रिक्त + या - के संकेत न रखें, क्योंकि हमें नहीं पता है कि कौन सा इस्तेमाल किया जाएगा।
  • फ़ैक्टर तृणमलीय चरण 4 नामक चित्र
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    पहले कुछ शब्दों को भरें साधारण समस्याओं में, जिसमें अपने ट्रिनीमियल की पहली अवधि केवल x है2, पहले शीर्षकों की शर्तों हमेशा होगी एक्स और एक्स. ये एक्स के कारक हैं2, क्योंकि एक्स बार x = x2.
    • हमारा उदाहरण, x2 + 3x - 10, एक्स से शुरू होता है2, इसलिए हम लिख सकते हैं:
    • (x __) (x __)
    • हम अगले अनुभाग में अधिक विस्तृत मुद्दों को देखेंगे, जिसमें टिनिनोमियल्स शामिल होंगे, जो 6x जैसे शब्द से शुरू होगा2या -एक्स2. अभी के लिए, उदाहरण समस्या का पालन करें
  • इमेज शीर्षक फैक्टर टोरोमिअल्स चरण 5
    5
    पिछले कुछ शब्दों को अनुमान लगाने के लिए फैक्टरिंग का उपयोग करें आप वापस जाएँ और शुरू में प्रयोग विधि को पुन: पढ़ने, तो आप उस गुणा उत्तरार्द्ध शब्द देख सकेंगे बहुपद (के साथ कोई x एक) में अंतिम अवधि देता है। इसलिए, कारक बनाने के लिए, हमें दो नंबर खोजने की आवश्यकता होती है जो कि आखिरी कार्य के रूप में गुणा है।
    • हमारे उदाहरण में, x2 + 3x - 10, अंतिम शब्द है -10
    • -10 कारक क्या हैं? कौन से दो संख्याएं एक साथ गुणा होती हैं -10 में परिणाम?
    • कुछ संभावनाएं हैं: -1 बार 10, 1 समय -10, -2 बार 5 या दो बार -5 इन जोड़े को कहीं न कहीं लिखें ताकि आप भूल न जाएं।
    • जवाब अभी तक नहीं बदलें यह अभी भी इस तरह दिखता है: (x __) (x __).
  • छवि का शीर्षक फैक्टर टोरोमिअल्स चरण 6
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    परीक्षण करें कि कौन से संभावनाएं बाहर के गुणा और अंदर के गुणन के साथ काम करती हैं। हमने कुछ संभावनाओं के लिए पिछले कुछ शब्द घटा दिए हैं। बाहरी और आंतरिक शब्दों को गुणा करके उनमें से प्रत्येक का परीक्षण करें, फिर हमारे ट्रिनीमियल को परिणाम की तुलना करें। उदाहरण के लिए:
    • हमारी मूल समस्या के "x" के साथ शब्द "3x" है, इसलिए वह मूल्य वह है जिसे हम परीक्षा में प्राप्त करना चाहते हैं।
    • टेस्ट -1 और 10: (एक्स -1) (एक्स + 10) बाहर का मान + भीतर से + 10x - x = 9x बिल्कुल नहीं
    • टेस्ट 1 और -10: (एक्स + 1) (एक्स -10) -10 x + x = -9x यह सही नहीं है वास्तव में, -1 और 10 का परीक्षण करने के बाद, आप जानते हैं कि उत्तर 1 और -10 केवल उपरोक्त परिणाम के विपरीत होंगे: -9x, 9x के बजाय।
    • टेस्ट -2 और 5: (एक्स -2) (एक्स +5)। 5x - 2x = 3x यह मूल बहुपद के साथ मेल खाता है, इसलिए सही उत्तर है: (एक्स -2) (एक्स +5).
    • इस तरह के सरल मामलों में, जब एक्स के सामने कोई स्थिर न हो2, आप शॉर्टकट का उपयोग कर सकते हैं: बस दो कारकों को जोड़ें और (-2 + 5 → 3x) के बाद "x" डाल दें यह अधिक जटिल समस्याओं के साथ काम नहीं करेगा, इसलिए ऊपर वर्णित पूर्ण पथ को याद रखना अच्छा है।

    • विधि 2
    अधिक विस्तृत trinomials फैक्टरिंग

    फैक्टर तृणमियाल चरण 7 के शीर्षक वाला चित्र
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    अधिक विस्तृत समस्याओं को सुलझाने के लिए साधारण कारक का उपयोग करें मान लें कि आपको कारक चाहिए 3x2 + 9x - 30. उस नंबर की तलाश करें जो सभी तीनों शब्दों को ("उनमें से आम अधिकतम विभाजक" या एमडीसी) भरता है इस स्थिति में, यह 3 है:
    • 3x2 = (3) (एक्स2)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3) (- 10)
    • इसलिए, 3x2 + 9x-30 = (3) (एक्स2+3x -10)। हम इस लेख की शुरुआत में चरणों का उपयोग करते हुए नए ट्रिनीमियल का कारक बना सकते हैं। जवाब होगा (3) (एक्स -2) (एक्स + 5).



  • चित्र का शीर्षक फैक्टर टोरोमिअल्स चरण 8
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    अधिक विस्तृत कारकों को देखें कभी-कभी पहलू में वेरिएबल्स शामिल हो सकते हैं, या संभवत: आपको सरलतम संभव अभिव्यक्ति प्राप्त होने तक कई बार कारक करना पड़ सकता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
    • 2x2और + 14xy + 24y = (2y)(एक्स2 + 7x + 12)
    • एक्स4 + 11x3 - 26x2 = (एक्स2)(एक्स2 + 11x - 26)
    • -एक्स2 + 6x = 9 = (-1)(एक्स2 - 6x + 9)
    • शुरुआत के चरणों का उपयोग करते हुए, एक बार नया ट्रिनीमियल कारक करने के लिए मत भूलो। कृपया अपने उत्तर की जांच करें और इस अनुच्छेद के अंत के समान समान समस्याएं ढूंढें।
  • फैक्टर तृणमियाल चरण 9 के शीर्षक वाला चित्र
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    X के सामने एक संख्या के साथ समस्याओं का समाधान करें2. कुछ द्विघात trinomials सरलीकृत नहीं किया जा सकता जब तक वे सबसे आसान प्रकार की समस्या तक पहुंच नहीं। 3x जैसी समस्याओं को हल करने का तरीका जानें2 + 10x + 8, और फिर अकेले इस अनुच्छेद के अंत में नमूना समस्याओं के साथ अभ्यास:
    • जवाब इकट्ठा करें: (__ __)
    • पहले शब्दों में प्रत्येक "x" होता है और जब गुणा होता है, तो परिणाम 3x होता है2. यहां केवल एक संभव विकल्प है: (3x __) (एक्स __).
    • 8 के कारकों की सूची। हमारे विकल्प 1 बार 8 या 2 बार 4 हैं।
    • उन्हें बाहर और अंदर से शब्दों का प्रयोग करके परीक्षण करें ध्यान दें कि कारकों का क्रम महत्वपूर्ण है, क्योंकि बाहर से शब्द "3x" से गुणा किया जा रहा है, "एक्स" से नहीं। सभी संभावनाओं का प्रयास करें जब तक कि आप बाहर का नतीजा न करें 10x के भीतर (मूल समस्या के अनुसार):
    • (3x + 1) (एक्स + 8) → 24x + x = 25x न करें.
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x न करें.
    • (3x + 2) (एक्स + 4) → 12x + 2x = 14x न करें.
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x हां, यह सही कारक है
  • फैक्टर तृणमियाल चरण 10 नामक चित्र
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    उच्च डिग्री trinomials के लिए प्रतिस्थापन का प्रयोग करें। आपका गणित पुस्तक आपको एक्सोनेंट एक्स हाई समीकरण के साथ आश्चर्यचकित कर सकता है4, यहां तक ​​कि समस्या को कम करने के लिए सरल कारक इस्तेमाल करने के बाद भी। एक नया चर के साथ जगह की कोशिश करें जो समीकरण को उस स्थिति में बदलता है जिसे आप जानते हैं कि कैसे हल करें। उदाहरण के लिए:
    • एक्स5+13x3+36x
    • = (x) (एक्स4+13x2+36)
    • चलो एक नया चर का आविष्कार करते हैं। हम कहेंगे कि y = x2 और हम प्रतिस्थापन करेंगे:
    • (x) (y2+13y + 36)
    • = (x) (y + 9) (y + 4) अब, मूल चर पर वापस लौटें:
    • = (x) (एक्स2+9) (एक्स2+4)
    • =(एक्स) (एक्स ± 3) (x ± 2)

    • विधि 3
    विशेष मामलों फैक्टरिंग

    फैक्टर तृणमियाल चरण 11 के शीर्षक वाले चित्र
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    प्रधान संख्याओं को देखें सत्यापित करें कि ट्रिनीमियल की पहली या तीसरी अवधि में लगातार एक प्रमुख संख्या है। एक प्रमुख संख्या को केवल अपने द्वारा और 1 के बराबर बांटा जा सकता है, इसलिए द्विपदीय कारकों का केवल एक संभावित जोड़ी है
    • उदाहरण के लिए, x में2 + (5 __) (__ 1): 6x + 5, "5" अभाज्य संख्या है, तो द्विपद की तरह दिखना चाहिए है।
    • कोई समस्या नहीं 3x2+10x + 8, 3 एक प्रमुख संख्या है, इसलिए द्विपद को इस तरह दिखना चाहिए: (3x __) (x __)।
    • 3x समस्या के लिए2+4x + 1, दोनों "3" और "1" मुख्य संख्या हैं, इसलिए केवल संभावित समाधान (3x + 1) (x + 1) है। (उदाहरण के तौर पर, 3x2 + 100x + 1 के पास कोई कारक नहीं है) आपको कुछ गणनाओं पर ध्यान नहीं दिया जा सकता है, इसलिए आपको अपनी गणना को जांचने के लिए इस गुणा भी करना चाहिए।
  • फैक्टर तृणमियाल चरण 12 के शीर्षक वाला चित्र
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    सुनिश्चित करें कि trinomial एक आदर्श वर्ग है। एक आदर्श स्क्वायर ट्रिनीमियल दो समान द्विपदों में कारगर हो सकता है, और कारक आमतौर पर (एक्स + 1) के रूप में लिखा जाता है2, (एक्स + 1) (एक्स + 1) के बजाय यहां कुछ सामान्य हैं जो समस्याओं में प्रकट होते हैं:
    • एक्स2+2x + 1 = (x + 1)2, और एक्स2-2x + 1 = (एक्स -1)2
    • एक्स2+4x + 4 = (एक्स + 2)2, और एक्स2-4x + 4 = (एक्स -2)2
    • एक्स2+6x + 9 = (एक्स + 3)2, और एक्स2-6x + 9 = (एक्स -3)2
    • के रूप में एक आदर्श वर्ग trinomial में एक्स2 + खएक्स + ग, शब्द "एक" और "सी" हमेशा सकारात्मक पूर्ण वर्ग (# 1, 4, 9, 16 या 25), और अवधि ख (सकारात्मक या नकारात्मक) हमेशा 2 (* √a √c) के बराबर है कर रहे हैं।
  • चित्र का शीर्षक फैक्टर टोरोमिअल्स चरण 13
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    जांचें कि क्या कोई समाधान नहीं है नहीं सभी trinomials factored किया जा सकता है यदि आप एक द्विघात trinomial (कुल्हाड़ी में पैक कर रहे हैं2+bx + c), परिणाम खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करें। यदि केवल एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल है, तो कोई वास्तविक समाधान नहीं है, इसलिए कोई कारक नहीं हैं।
    • गैर-द्विघात trinomials के लिए, Eisenstein कसौटी का उपयोग करें, जो सुझाव अनुभाग में वर्णित है।

    • उत्तर और समस्या के उदाहरण

    1. अधिक व्यापक कारक समस्याएं के उत्तर ये "अधिक विस्तृत" trinomials के बारे में हिस्सा की समस्याएं हैं हमने उन्हें सरल बनाया है, जिससे उन्हें एक आसान समस्या हो रही है। अब, शुरुआत के चरणों का उपयोग करके उन्हें हल करने का प्रयास करें, इसलिए अपनी गणना यहां जांचें:
      • (2 वें) (एक्स2 + 7x + 12) = (एक्स + 3) (एक्स + 4)
      • (एक्स2) (एक्स2 + 11x = 26) = (एक्स + 2)
      • (-1) (एक्स2 - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (एक्स 3)2
    2. अधिक जटिल कारक समस्याएं हल करने का प्रयास करें इन समस्याओं का प्रत्येक कार्यकाल में एक सामान्य कारक होता है, जिसे पहले कारगर होना चाहिए। जवाब देखने के लिए समान चिह्नों के बाद स्थान को हाइलाइट करें और अपनी गणना यहां देखें:
      • 3x3+3x2-6x = (3x) (एक्स + 2) (एक्स -1) ← अपना जवाब देखने के लिए इस स्थान को हाइलाइट करें
      • -5x3y2+30x2y2-25y2x = (-5xy ^ 2) (एक्स 5) (एक्स 1)
    3. कठिन समस्याओं के साथ अभ्यास इन समस्याओं के आसान समीकरण तरीके पर निर्भर करता नहीं किया जा सकता है ताकि आप के (_x + __) के रूप में एक प्रतिक्रिया तैयार करने के लिए की आवश्यकता होगी (__ _ + x) परीक्षण के माध्यम से:
      • 2x2+3x-5 = (2x + 5) (एक्स -1) उत्तर को देखने के लिए हाइलाइट करें
      • 9x2+6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)2 (सुझाव: 9x के लिए आपको दो कारकों से अधिक प्रयास करने की आवश्यकता हो सकती है)

    युक्तियाँ

    • यदि आपको नहीं पता कि किस प्रकार एक द्विघात त्रिनम का गुणांक (कुल्हाड़ी2+bx + c), आप एक्स के मूल्य को खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं
    • यद्यपि आप ऐसा करने के तरीके पता नहीं है, आप Eisenstein की कसौटी का उपयोग जल्दी से निर्धारित करने के लिए एक बहुपद अलघुकरणीय है और शामिल नहीं किया जा सकता है सकते हैं। यह मानदंड किसी भी बहुपक्षीय पर लागू होता है, लेकिन विशेषकर trinomials के साथ विशेष रूप से काम करता है अगर वहाँ एक अभाज्य संख्या "पी" जो भी पिछले दो नियमों और संतुष्ट निम्न स्थितियों में विभाजित है, तो बहुपद अलघुकरणीय है:
      • स्थिर शब्द (बिना चर के) पी का एक बहु है, लेकिन पी के नहीं2.
      • मुख्य शब्द (उदाहरण के लिए, कुल्हाड़ी में "ए"2+बीएक्स + सी) पी के एक मल्टीपल नहीं है
      • उदाहरण के लिए, 14x2 + 45x + 51 अविश्वसनीय है क्योंकि एक प्रमुख संख्या (3) है जो समान रूप से 45 और 51 को विभाजित करती है, लेकिन 14 नहीं, और 51 समान रूप से 3 से विभाजित नहीं हो सकती2.

    चेतावनी

    • यद्यपि यह द्विघात समीकरणों के लिए सही है, तथ्यात्मक trinomials आवश्यक रूप से दो द्विपदों के उत्पाद नहीं हैं। उदाहरण के लिए: x4 + 105x + 46 = (एक्स2 + 5x + 2) (एक्स2 - 5x + 23)
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