बीजीय समीकरणों को कैसे फैक्टर करें

गणित में, इस फैक्टरिंग

सामग्री

चरणों

विधि 1फैक्टरिंग बीजीय संख्या और अभिव्यक्तियाँ
विधि 2फैक्टरिंग द्विघात समीकरण

युक्तियाँ
आवश्यक सामग्री

संख्याओं या अभिव्यक्तियों की खोज के कार्य का प्रतिनिधित्व करता है जो एक निश्चित संख्या या समीकरण देने के लिए गुणा करते हैं। फैक्टरिंग álgebra- सुयोग्य कारक करने की क्षमता लगभग आवश्यक हो जाता है जब द्विघात समीकरण और बहुआयामी पद के अन्य रूपों के साथ काम कर के बुनियादी समस्याओं को हल करने में जानने के लिए एक उपयोगी कौशल है। रिज़ॉल्यूशन सरल बनाने के लिए बीजीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए फैक्टरिंग का उपयोग किया जा सकता है। इससे आपको कुछ संभावित प्रतिक्रियाओं को खत्म करने की क्षमता भी अधिक हो सकती है, अगर आप उनका उपयोग नहीं करते हैं।

चरणों

विधि 1
फैक्टरिंग बीजीय संख्या और अभिव्यक्तियाँ

फ़ैक्टर बीजीय समीकरण का पहला शीर्षक चित्र 1

अलग-अलग नंबरों पर लागू होने पर फैक्टरिंग की परिभाषा को समझें फैक्टरिंग सरल रूप से सरल है, लेकिन व्यवहार में यह एक चुनौतीपूर्ण कार्य साबित हो सकता है जब जटिल समीकरणों के साथ मिलकर। इस कारण से, साधारण संख्या के साथ शुरूआत को लेकर कारक बनाने की अवधारणा से संपर्क करना आसान होता है, और फिर अधिक उन्नत अनुप्रयोगों के आगे बढ़ने से पहले सरल समीकरणों के साथ जारी रखें। कारकों एक संख्या के ऐसे पद हैं जो एक परिणाम के रूप में इसे गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, 12 1, 12, 2, 6, 3 और 4 के कारक हैं, 1 × 12, 2 × 6 और 3 × 4 के परिणामस्वरूप सभी 12 परिणामस्वरूप 12 हैं।

इसके बारे में सोचने का एक अन्य तरीका यह विचार करना है कि एक संख्या के कारक हैं जिनके लिए यह है समान रूप से विभाज्य.
क्या आप संख्या 60 के सभी कारक पा सकते हैं? हम इस संख्या को कई कारणों से उपयोग करेंगे (एक मिनट में मिनट, एक मिनट में सेकंड, आदि) इस तथ्य से कि यह बड़ी संख्या में संख्याओं से समान रूप से विभाज्य है।
- 60 के कारक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 और 60 हैं।

फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक चित्र 2 चरण

समझे कि वेरिएबल एक्सप्रेशंस भी कारगर हो सकते हैं। उसी तरह कि पृथक संख्याओं पर विचार किया जा सकता है, इसलिए संख्यात्मक गुणांक के साथ वेरिएबल हो सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस चर के गुणांक के कारकों का पता लगाएं। यह जानने के लिए कि चर को कैसे घटाना, बीजीय समीकरणों को सरल बनाने में उपयोगी है जिसमें चर मौजूद हैं।

उदाहरण के लिए, वेरिएबल 12x को 12 और x के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है हम इसे 12x, या 3 (4x), 2 (6x) आदि के रूप में लिख सकते हैं, हमारे उद्देश्य के लिए अधिक उपयुक्त किसी भी कारक का उपयोग कर सकते हैं।
- हम 12x का कारक होने तक कभी भी नहीं जा सकते कई बार. जिसके परिणामस्वरूप, हम 4x और 6x कारक बन सकते हैं 3 (2 (2)) और 2 (3 (2)) क्रमशः - दूसरे शब्दों में, हम को रोकने के लिए 3 (4x) या 2 (6x) नहीं है। जाहिर है, इन दो भाव समान हैं

बीजीय समीकरणों के factorization में गुणा की वितरण संपत्ति को लागू करें अपने संबंधित ज्ञान का प्रयोग करके गुणांक के साथ एकल या चर संख्याओं का निर्धारण कैसे करें, आप बीजीय समीकरणों को उन कारकों को खोजने के लिए सरल बना सकते हैं जो संख्याओं और वेरिएबल्स में समान हैं। आमतौर पर, एक समीकरण को यथासंभव सरल बनाने के लिए, हम कोशिश करेंगे सबसे बड़ा सामान्य कारक. सरलीकरण की यह प्रक्रिया संभव है क्योंकि गुणन की वितरण संपत्ति, जो कि किसी भी संख्या के लिए परिभाषित करती है, ए, बी और सी, ए (बी + सी) = एबी + एसी.

चलो एक उदाहरण समस्या की कोशिश करो। बीजीय समीकरण 12x + 6 कारक लिए, हमें पहले 12x और 6 नंबर 6 के बीच सबसे बड़ा आम कारक की तलाश करेगा सबसे बड़ा है कि यह भी दोनों 12x और 6 और इसलिए, हम 6 के लिए समीकरण (2x को आसान बनाने में कर सकते हैं विभाजित करता है + 1)।
यह प्रक्रिया नकारात्मक संख्याओं और अंशों के साथ समीकरणों पर भी लागू होती है उदाहरण के लिए, एक्स / 2 + 4, 1/2 (x + 8) में सरलीकृत किया जा सकता है, और -7 x + -21 को -7 (x + 3) के आधार पर किया जा सकता है।

विधि 2
फैक्टरिंग द्विघात समीकरण

फ़ैक्टर बीजीय समीकरण का शीर्षक चित्र 4 चरण

सुनिश्चित करें कि समीकरण द्विघात रूप लेता है। द्विघात समीकरण फार्म कुल्हाड़ी ले² + bx + c = 0, जहां a, b और c संख्यात्मक स्थिरांक हैं और 0 के बराबर नहीं है (ध्यान दें कि कर सकते हैं 1 या -1 के बराबर हो) आप दूसरे घात एक्स के एक या अधिक शब्द है जिसमें एक चर (एक्स) एक समीकरण है, तो आप आमतौर पर अपनी शर्तों बुनियादी बीजीय कार्यों के साथ समानता और कुल्हाड़ी के एक तरफ 0 होने के लिए समायोजित कर सकते हैं² दूसरे पर

उदाहरण के लिए, बीजीय समीकरण 5x पर विचार करें² + 7x-9 = 4x² + x - 18, जिसे एक्स के लिए सरल किया जा सकता है² + 6x + 9 = 0, जो द्विघात रूप में है।
X से बड़े शब्दों के साथ समीकरण, जैसे x3, x⁴, आदि द्विघात विचार नहीं किया जा सकता है वे क्यूबिक, क्वार्टिक, और इतने पर हैं, जब तक कि समीकरण 2 की तुलना में अधिक से अधिक शक्ति वाले एक्स की शर्तों को खत्म करने के लिए सरलीकृत नहीं किया जा सकता।

फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक शीर्षक चित्र 5

द्विघात समीकरणों में जहां एक = 1, उन्हें एक्स (x + d) (x + e) के लिए कारक करना संभव है, जहां डी × ई = सी और डी + ई = बी अगर द्विघात समीकरण फॉर्म x लेता है² + bx + c = 0 (दूसरे शब्दों में, यदि शब्द x का गुणांक² 1 के बराबर है), यह संभव है (हालांकि गारंटी नहीं है) कि एक अपेक्षाकृत सरल शॉर्टकट इसका इस्तेमाल करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है दो नंबर प्राप्त करें जो कि ग देने के लिए गुणा करें और जो बी में परिणाम को जोड़ते हैं। एक बार जब आप इन दो नंबरों को खोजते हैं, तो डी और ई, उन्हें निम्नलिखित अभिव्यक्ति में रखें: (एक्स + डी) (एक्स + ई). ये दो शब्द, जब एक साथ गुणा किया जाता है, वांछित द्विघात समीकरण उत्पन्न करता है - दूसरे शब्दों में, वे अपने द्विघात समीकरण के कारक हैं।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण x पर विचार करें² + 5x + 6 = 0. संख्या 2 और 3 6 उपज के लिए गुणा किया जाता है और इसलिए है कि हम अभिव्यक्ति में समीकरण (x + 3) (x + 2) को आसान बनाने में कर सकते हैं भी, 5 में परिणाम को जोड़ा गया।
इस मूल शॉर्टकट में लघु भिन्नता समीकरणों के विभिन्न रूपों के लिए मौजूद हैं:
- अगर द्विघात समीकरण फॉर्म x लेता है² - बीएक्स + सी, आपका उत्तर लिखा जाएगा: (x - _) (x - _)
- अगर यह फॉर्म एक्स लेता है² + बीएक्स + सी, आपका उत्तर इस प्रकार लिखा जाएगा: (x + _) (x + _)
- अगर यह फॉर्म एक्स लेता है² - बीएक्स - सी, आपका उत्तर (x + _) (x - _) के रूप में लिखा जाएगा।
नोट: रिक्त संख्या अंश या दशमलव हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण x² + (21/2) एक्स + 5 = 0 (x + 10) (x + 1/2) में कारगर हो सकता है

यदि संभव हो तो, कारखानों की जांच करें। इस पर विश्वास करें या नहीं, सीधी द्विघात समीकरणों के मामले में। एक कारक के स्वीकार किए गए रूपों में से एक बस समस्या की जांच करने के लिए है और फिर सही संख्या तक पहुंचने तक संभव उत्तरों पर विचार करें। इस प्रक्रिया को निरीक्षण घटककरण के रूप में भी जाना जाता है। यदि समीकरण में फार्म कुल्हाड़ी है² + और bx + c> 1, प्रतिक्रिया प्रभावित करेगा प्रपत्र (dx _ +/-) (+/- _ पूर्व), जहां डी और ई संख्यात्मक स्थिरांक शून्य से अलग है जो एक में परिणाम की गुणा किया जाता है कर रहे हैं। दोनों डी और ई (या दोनों) कर सकते हैं संख्या 1 हो, हालांकि यह हमेशा आवश्यक नहीं होता है यदि दोनों 1 हैं, तो आप अनिवार्य रूप से पहले बताए गए शॉर्टकट का उपयोग करते थे।

एक उदाहरण समस्या पर विचार करें 3x² - 8x + 4, पहली नज़र में, भयभीत लग सकता है हालांकि, जब हम देखते हैं कि 3 केवल दो कारकों है (03:01) करते हैं, समीकरण आसान है क्योंकि हम जानते हैं कि प्रतिक्रिया प्रपत्र ले जाएगा (3x _ +/-) हो जाता है (+/- एक्स _)। उस मामले में, दोनों जगहों पर एक -2 जोड़कर हमें सही उत्तर मिलेगा। -2x3x = -6x और -2 × x = -2x द्वारा 4 में 2 की -2 परिणाम, -6x -2x और -8x में परिणाम है, और गुणा का योग ताकि हम मामले में कोष्ठक कारक गुणा मूल समीकरण में जिसके परिणामस्वरूप देख सकते हैं।

वर्ग को पूरा करके समस्या का समाधान करें कुछ मामलों में, एक विशेष बीजीय पहचान का उपयोग करके द्विघात समीकरण जल्दी और आसानी से हो सकते हैं। एक्स में कोई भी द्विघात समीकरण² + 2x एच + एच² = (एक्स + एच)². इस प्रकार, यदि, अपने समीकरण में, ख मूल्य दो बार अपने ग मान का वर्गमूल है, समीकरण के कारक किया जा सकता है (x + (√c))².

उदाहरण के लिए, समीकरण x² + उस प्रारूप में 6x + 9 फिट बैठता है 3² 9 के बराबर है, और 3 x 2 के बराबर होती है 6. तो, हम जानते इस समीकरण के सकारात्मक असर रूप है (x + 3) (x + 3) या (x + 3)².

फैक्टर बीजीय समीकरण चरण 8 के शीर्षक वाला चित्र

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए कारकों का उपयोग करें। कैसे आप अपने द्विघात अभिव्यक्ति fatorará के बाद से यह जोड़ा जाता है की परवाह किए बिना, आप प्रत्येक कारक शून्य के बराबर परिभाषित करने और इसे हल करने की एक्स का मान के लिए जवाब मिल सकता है। जब से तुम एक्स के मूल्यों कि समीकरण शून्य के बराबर है बनाने के लिए खोज रहे हैं, एक्स के एक मूल्य शून्य के बराबर कारकों में से किसी अपने द्विघात समीकरण के लिए एक संभावित जवाब है।

चलो समीकरण एक्स पर लौटें² + (एक्स + 2) = 0. यदि कोई भी कारक 0 के बराबर है, तो समीकरण का समीकरण 0 के बराबर होगा, ताकि एक्स के संभावित उत्तर संख्याएं जो (x + 3) और (x + 2) 0 के बराबर होती हैं। ये क्रमशः -3 और -2 हैं।

उनके जवाब देखें - इनमें से कुछ अजीब हो सकते हैं! एक बार जब आपको एक्स के लिए संभावित उत्तर मिले, तो उन्हें मूल समीकरण में वापस देखने के लिए देखें कि क्या वे मान्य हैं। कभी-कभी, जवाब मिलते हैं मत करो वापस डालने के बाद शून्य के मूल समीकरण को बनाइए। हम इन समीकरणों को कहते हैं अजीब और हम उनकी उपेक्षा करते हैं

चलो समीकरण x में -2 और -3 डालते हैं² + 5x + 6 = 0. प्रथम, -2:
- (-2)² + 5 (-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. यह उत्तर सच है और इस प्रकार -2 एक वैध जवाब है।
अब चलो कोशिश -3:
- (-3)² + 5 (-3) + 6 = 0
- 9 + -15 +6 = 0
- 0 = 0. यह उत्तर भी सच है, इसलिए -3 भी एक वैध जवाब है।

फैक्टर बीजीय समीकरण का शीर्षक शीर्षक चित्र 10

यदि समीकरण के रूप में एक है तो² - ख², (ए + बी) (ए - बी) दो चर के साथ समीकरणों को बुनियादी क्वाडट्रिक्स से अलग तरह से आधार बनाया गया है। किसी भी समीकरण के लिए² - ख², जहां ए और बी 0 के समान नहीं है, समीकरण को (ए + बी) (ए - बी) पर आधारित है।

उदाहरण के लिए, समीकरण 9x² - 4y² = (9x + 4y) (9x-4y)

फैक्टर बीजीय समीकरणों का शीर्षक चित्र 11

यदि समीकरण के रूप में एक है तो² + 2 बी + बी², (ए + बी)². ध्यान दें कि अगर तेंदुए के पास फॉर्म है तो² - 2 बी + बी², कारगर फार्म थोड़ा अलग होगा: (ए - बी)².

समीकरण 2x² + 16xy + 4y² 2x के रूप में फिर से लिखा जा सकता है² + (2 × 2 × 4) xy + 4y². अब यह देखना संभव है कि यह अपने सही रूप में है, ताकि हम आत्मविश्वास से कह सकें कि समीकरण के कारकों को (2x + 4y) के रूप में रखा जा सकता है².

यदि समीकरण के रूप में एक है तो³ - ख³, फैंसी ए (ए-बी) (ए² + एबी + बी²)। अंत में, यह उल्लेख करना महत्वपूर्ण है कि क्यूबिक या उच्च ऑर्डर समीकरणों पर विचार किया जा सकता है, हालांकि यह प्रक्रिया जल्द ही अविश्वसनीय रूप से अधिक जटिल हो जाती है।

उदाहरण के लिए, 2x² - 3y² (2x - 3y) (2x² + ((2x) (3y)) + 3y²)।

युक्तियाँ

² - ख² एक कारक है, लेकिन² + ख² कोई।
याद रखें कि स्थिरांक में कारक कैसे - यह मदद कर सकता है
फर्कराइजेशन प्रक्रिया में अपूर्णों की देखभाल करें, और उनके साथ सही और ध्यान से काम करें।
यदि आपके पास एक्स के रूप में एक टिनोमियल है² + बीएक्स + (बी / 2)², कारक फार्म (एक्स + (बी / 2) है)².
याद रखें कि a0 = 0 (उत्पाद की संपत्ति शून्य)