कैसे एक 2x3 मैट्रिक्स को हल करने के लिए

समीकरणों की एक प्रणाली दो या दो से अधिक समीकरणों का एक समूह है जो अज्ञात लोगों के समूह को साझा करती है और इसलिए एक सामान्य समाधान है। रैखिक समीकरणों के लिए, सीधी रेखा से रेखांकन का प्रतिनिधित्व किया जाता है, सिस्टम का समाधान लाइनों के प्रतिच्छेदन बिंदु है सरणी रेखीय प्रणालियों को फिर से लिखना और हल करने के लिए उपयोगी हो सकती हैं।

सामग्री

चरणों

भाग 1मूल बातें को समझना
भाग 2सिस्टम को हल करने के लिए संवर्धित मैट्रिक्स को ट्रांसफ़ॉर्म करना

युक्तियाँ
सूत्रों और कोटेशन

चरणों

भाग 1
मूल बातें को समझना

शब्दावली को समझें रैखिक समीकरणों के विभिन्न घटक हैं वेरिएबल एक संख्या के लिए प्रतीक (आमतौर पर एक अक्षर x या वाई) है जिसे आप अभी तक नहीं जानते हैं। निरंतर एक संख्या है जो इसका मूल्य नहीं बदलता है। गुणांक वह संख्या है जो चर से पहले आता है, इसे गुणा करने के लिए उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरण में 2x + 4y = 8, एक्स और वाई वेरिएबल्स हैं। निरंतर 8 है। संख्या 2 और 4 गुणांक हैं।

समीकरणों की प्रणाली के रूप को पहचानें दो चर समीकरणों के रूप में लिखा जा सकता है की एक प्रणाली इस प्रकार है: कुल्हाड़ी + = डब्ल्यू, cx + डीवाई द्वारा = आन स्थिरांक (पी, क्यू) में से एक शून्य हो सकता है, परंतुक कि समीकरणों में से प्रत्येक में कम से कम होना चाहिए साथ एक चर (एक्स, वाई)

समीकरणों की एक सरणी को समझें। जब आपके पास एक रैखिक प्रणाली होती है, तो आप इसे पुनः लिखने के लिए एक सरणी का उपयोग कर सकते हैं, और उसके बाद मैट्रिक्स-बीजीय गुणों का उपयोग कर इसे हल कर सकते हैं। एक रेखीय प्रणाली को फिर से लिखने के लिए, मैट्रिक्स का उपयोग गुणांक सी प्रतिनिधित्व करने के लिए अज्ञात के निरंतर मैट्रिक्स और एक्स मैट्रिक्स (या सदिश) का प्रतिनिधित्व करने के लिए।

उपरोक्त रैखिक प्रणाली, उदाहरण के लिए, एक मैट्रिक्स समीकरण के रूप में निम्न प्रकार की जा सकती है: एएक्स = सी।

वृद्धि हुई मैट्रिक्स को समझें एक मैट्रिक्स बढ़ गया है जो दो मैट्रिक्स से कॉलम जोड़कर एक सरणी है। अगर आपके पास दो सरणियां, ए और सी हैं, तो आप उन्हें एक साथ जोड़कर एक संवर्धित मैट्रिक्स बना सकते हैं। संवर्धित मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित रेखीय प्रणाली पर विचार करें:
2x + 4y = 8
x + y = 2
आपकी संवर्धित सरणी एक 2x3 सरणी होगी जो दिखता है:

भाग 2
सिस्टम को हल करने के लिए संवर्धित मैट्रिक्स को ट्रांसफ़ॉर्म करना

प्राथमिक परिचालनों को समझें। आप इसे बदलने के लिए एक सरणी पर कुछ कार्य कर सकते हैं, मूल सरणी के बराबर रखते हुए। इन आपरेशनों को प्राथमिक संचालन कहा जाता है। 2x3 मैट्रिक्स को हल करने के लिए, उदाहरण के लिए, आप मैट्रिक्स को त्रिकोणीय मैट्रिक्स में बदलने के लिए प्राथमिक पंक्ति कार्यों का उपयोग कर सकते हैं। प्राथमिक संचालन में शामिल हैं:

दो पंक्तियाँ बदलें
शून्य के अलावा एक नंबर से एक पंक्ति गुणा करें
एक पंक्ति गुणा करें और फिर इसे एक और पंक्ति में जोड़ें

शून्य के अलावा अन्य नंबर से दूसरी पंक्ति गुणा करें यह विचार है कि आपकी दूसरी पंक्ति में शून्य दिखाई दे, तो इसे गुणा करें ताकि ऐसा हो सके।

उदाहरण के लिए, मान लें कि आपके पास एक सरणी है:

आप पहली पंक्ति को रख सकते हैं और दूसरी पंक्ति पर शून्य बनाने के लिए इसका इस्तेमाल कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले दो पंक्ति की दूसरी पंक्ति गुणा करें, जैसा कि निम्न है:

फिर गुणा करें दूसरी पंक्ति पर शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको उसी सिद्धांत का उपयोग करके फिर से पंक्ति को गुणा करना पड़ सकता है।

ऊपर दिए गए उदाहरण में, दूसरी लाइन को -1 के अनुसार गुणा करें, जैसा कि निम्न है:

जब आप गुणन को पूरा करते हैं, तो आपके नए सरणी में निम्नलिखित प्रपत्र होंगे:

दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति जोड़ें इसके बाद, दूसरी पंक्ति के पहले स्तंभ में शून्य उत्पन्न करने के लिए पहली और दूसरी पंक्तियां जोड़ें

उपरोक्त उदाहरण में, दो पंक्तियाँ निम्नानुसार जोड़ें:

त्रिकोणीय मैट्रिक्स के लिए नई रैखिक प्रणाली को ध्यान दें। इस बिंदु पर, आपके पास त्रिकोणीय मैट्रिक्स है। आप एक नई रैखिक प्रणाली प्राप्त करने के लिए इस सरणी का उपयोग कर सकते हैं। पहला कॉलम छिपे हुए y के लिए छिपे हुए एक्स और दूसरे कॉलम से मेल खाती है। तीसरा स्तंभ समीकरण के निरंतरता से मेल खाता है।

इसलिए, ऊपर दिए गए उदाहरण के लिए, आपका नया सिस्टम ऐसा दिखेगा:

एक चर के लिए हल करें अपनी नई प्रणाली का उपयोग करना, निर्धारित करें कि कौन-सी चर अधिक आसानी से निर्धारित किया जा सकता है और इसके लिए हल कर सकते हैं।

उपरोक्त उदाहरण में, यह अंतिम समीकरण को हल करने के लिए बेहतर है और फिर अज्ञात मूल्य को खोजने के लिए पहले एक पर लौटें। दूसरा समीकरण y का एक आसान समाधान प्रदान करता है- x को हटा दिया गया है, आप देख सकते हैं कि y = 2

दूसरे चर को हल करने के लिए बदलें। एक बार जब आप एक चर को निर्धारित कर लेते हैं, तो आप अन्य वैरिएबल के लिए हल करने के लिए अन्य समीकरण में उसका मान बदल सकते हैं।

उपरोक्त उदाहरण में, एक्स के मूल्य को खोजने के लिए पहले समीकरण में 2 की जगह लें, जैसा कि निम्न है:

युक्तियाँ

सरणी में व्यवस्थित तत्वों को आमतौर पर स्केलर कहा जाता है।
ध्यान रखें कि 2x3 सरणी को हल करने के लिए, आपको प्रारंभिक लाइन संचालन का उपयोग करना चाहिए। आप प्राथमिक स्तंभ ऑपरेशन का उपयोग नहीं कर सकते