त्रिकोणमितीय असमानताओं को कैसे हल करें

एक त्रिकोणमितीय असमानता में आर च [एफ (एक्स), जी (एक्स) में चर चाप एक्स के एक या एक से अधिक त्रिकोणमिति फ़ंक्शंस शामिल हैं ...]> - 0 (या < 0), na qual f(x), g(x),... são funções trigonométricas do arc x. Encontrar o x significa encontrar os valores da variável arc x cujas funções trigonométricas fazem com que a inequação seja verdadeira. Todos esses valores de x constituem o conjunto de soluções da inequação trigonométrica expressada nos intervalos. Os valores do arc x são expressados em radianos ou graus.

त्रिकोणमितीय असमानताओं के उदाहरण:

पाप एक्स + पाप 2x> -न 3x-sin x + sin 3x < 1 - 2tan x + tan 2x > 3 कैट एक्स - कॉस 2 एक्स -2> -3 एसिन x

चरणों

एक बीजीय अभिव्यक्ति चरण 4 के साथ चित्रित करें चित्र

एक त्रिकोणमितीय असमानता को हल करने के लिए, इसे कई बुनियादी त्रिकोणमितीय असमानताओं में बदलना।

ट्रांसफॉर्मेशन प्रोसेस प्रक्रिया ठीक उसी तरह से होती है जैसे त्रिकोणमितीय समीकरणों के संकल्प में।
समीकरण में प्रस्तुत त्रिकोणमितीय कार्यों की सभी अवधियों का त्रिकोणमितीय असमानता की आम अवधि कम से कम आम है।
उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय असमानता पाप x + sin 2x + cos x / 2> 1 में आम अवधि के रूप में 4Pi है।
उदाहरण के लिए: tan x + cot x / 2 में सामान्य अवधि के रूप में 2Pi है।
जब तक निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, एक त्रिकोणमिति असमानता का समाधान कम से कम एक पूरी आम अवधि के भीतर हल किया जाना चाहिए।

4 प्रकार के त्रिकोणमितीय असमानताओं को जानें:

पाप x> ए (या < a) - cos x > (या < a)
तन एक्स> ए (या < a) - cot x > (या < a)

इन तीन बुनियादी त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के तरीके जानने के लिए, इस विषय पर पुस्तकों की खोज करें। चर चक्रे एक्स के विभिन्न पदों का अध्ययन करके मूल त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करें, जो त्रिकोणमितीय इकाई के चक्र में घूमता है, और त्रिकोणमितीय या गणना की जाने वाली सारणी का उपयोग करता है।

उदाहरण 1. समाधान: पाप x> 0.70 9
- समाधान। समाधानों का सेट त्रिकोणमितीय इकाई वृत्त और त्रिकोणमितीय तालिका द्वारा दिया जाता है:
पी / 4 + 2 के.पी < x < 3Pi/4 + 2k.Pi
उदाहरण 2. हल: तन x < 0.414
- समाधान। त्रिकोणमितीय तालिका और इकाई के चक्र द्वारा परिभाषित समाधान:
-पी / 2 + के.पी. < x < Pi/8 + k.Pi

यदि त्रिकोणमितीय असमानता में केवल एक त्रिकोणमितीय कार्य होता है, तो उसे मूल त्रिकोणमिति असमानता के रूप में हल करें। यदि यह जटिल है, जिसमें दो या अधिक त्रिकोणमिति फ़ंक्शंस शामिल हैं, तो 4 चरणों में हल करें

चित्रित करें त्रिकोनीमितीय असमानता का समाधान चरण 5

चरण 1 मानक प्रपत्र आर [x]> 0 (या। में त्रिकोणमितीय असमानता को रूपांतरित करें < 0).

उदाहरण। असमानता (2x < 2 + 3sen x) será transformada na forma padrão: R[x] = cos 2x - 3sen x -2 < 0.
उदाहरण। असमानता (2tan x + tan 2x> 3cot x) को आर [x] = 2tan x + tan 2x - 3cot x> 0 में बदल दिया जाएगा।

चरण 2 आम अवधि खोजें इस असमानता में निहित त्रिकोणमितीय कार्यों के सभी कालों में एक त्रिकोणमितीय असमानता की सामान्य अवधि, सबसे छोटी अवधि होगी।

उदाहरण। त्रिकोणमितीय असमानता आर [x] = कॉस 2x - 3 सिन x - 2 < 0 tem 2Pi como período comum, que é o menor múltiplo dos dois períodos 2Pi, e Pi.
उदाहरण। त्रिकोणमितीय असमानता पाप x + पाप 2x + पाप 3x> 0 में 2Pi सामान्य अवधि के रूप में है, जो 3 अवधि का सबसे छोटा है: 2 पी, पीआई, और 2 पी / 3
उदाहरण। त्रिकोणमितीय असमानता पाप 3x + cos x / 2 - 1 < 0 tem 4Pi como período comum.

चित्र ट्रागोनोमेट्रिक असमानता चरण 7 में हल करें

चरण 3 एक्स के लिए त्रिकोणमितीय समीकरण आर [x] = 0 को रूपांतरित और हल करें त्रिज्यात्मक समीकरण आर [x] = 0 को बदलने और हल करने का तरीका जानने के लिए, इंटरनेट पर त्रिकोणमितीय समीकरण कैसे हल करें। एक अनुस्मारक के रूप में, 2 दृष्टिकोण हैं:

एक। पहला दृष्टिकोण त्रिकोणमितीय समीकरण को कई मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों के उत्पाद में परिवर्तित करता है। फिर इन मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें ताकि सामान्य अवधि के भीतर एक्स के सभी मूल्यों को प्राप्त कर सकें। ये एक्स मान STEP 4 में उपयोग किए जाएंगे।
- उदाहरण। त्रिकोणमितीय असमानता को हल करें: cos x + cos 2x + cos 3x> 0
- समाधान। त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके, एक वस्तु में समीकरण आर [x] = cos x + cos 2x + cos 3x = 0 को रूपांतरित करें: cos 2x (1 + 2cos x) = 0
- इसके बाद, सामान्य अवधि के भीतर x के सभी मूल्यों को प्राप्त करने के लिए 2 मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों एफ (x) = cos 2x = 0 और g (x) = 1 + cos 2x = 0 को हल करें।
ख। दूसरा दृष्टिकोण एक त्रिकोणमितीय समीकरण को दिया गया त्रिकोणमितीय समीकरण को एक चर के रूप में केवल एक त्रिकोणमिति फ़ंक्शन (जिसे टी कहा जाता है) में परिवर्तित करता है। इस परिवर्तनित त्रिकोणमितीय समीकरण से टी के लिए हल करें। फिर इन मानों को टी से एक्स तक हल करें। चुनने के लिए सामान्य फ़ंक्शन वेरिएबल्स sin x = t कॉस कॉस = टैन तन x = t और tan x / 2 = t हैं
- उदाहरण। हल करें: आर [x] = cos 4x + 3cos2x + 1> 0
- समाधान। समीकरण आर [x] को क्रासैटिक त्रिकोणमितीय समीकरण में रूपांतरण के रूप में cos 2x = t के रूप में परिवर्तित करें:
- 2cos ^ 2 2x + 3cos 2x + 1 = 2t ^ 2 + 3t + 1 = 0
टी के लिए इस द्विघात समीकरण को हल करें इसके लिए 2 असली जड़ें हैं: टी = -1 और टी = -1/2 फिर दो मूल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करें, क्योंकि 2x = t = -1 और cos 2x = t = -1 / x के लिए इन सभी x मानों को स्टेप 4 में इस्तेमाल किया जाएगा

स्कॉट मैथ्यू समस्याएं शीर्षक से चित्र आसानी से चरण 2

चरण 4 संकेत तालिका का उपयोग करके, बीजीय पद्धति के माध्यम से त्रिकोणमितीय असमानता आर (x)> 0 (या> 0) को हल करें।

उदाहरण। असमानता को हल करें [x] = पाप x + sin 3x < -sen 2x (1)
समाधान। मानक आकार: पाप x + sin 2x + sin 3x < 0. O período comum é 2Pi. Transforme (1) em um produto: R[x] = 2sen 2x(cos x - 1/2) < 0. No passo 3 resolva R(x) = 0. Resolva a equação básica f(x) = sen 2x = 0. Os arcos de solução são: 0, Pi/2, Pi, 3Pi/2, 2Pi. Então, resolva a equação g(x) = cos x - 1/2 = 0. Os arcos são Pi/3, 5Pi/3. Todos esses 7 valores de x serão usados para fazer uma tabela de sinais no passo 4. Para resolver R(x) < 0 (ou > 0)

चित्रित किया गया नामित त्रिकोणमितीय असमानता चरण 9

एक सिग्नल टेबल बनायें जिसमें ऊपरी पंक्ति में मान 0 से 2 पीई तक क्रमिक रूप से सभी एक्स मान हैं एक्स के इन लगातार मूल्यों को उनके बीच कई अंतराल बनाते हैं।

सबसे पहले, तालिका के दूसरी पंक्ति में f (x) = sin 2x की भिन्नता को ढूंढें। यह त्रिकोणीय इकाई के चक्र में घूमता चाप एक्स के विभिन्न स्थितियों के कारण होता है उदाहरण के लिए अगर एक्स पहली चक्र में है, तो 2x आर्क दूसरा क्वाड्रंट में है और पाप 2x पॉजिटिव है। एफ (एक्स) के भिन्नता के अनुसार, + और - के साथ अंतराल को चिह्नित करें।
इसके बाद, संकेत तालिका की तीसरी पंक्ति पर जी (x) = cos x - 1/2 के भिन्नता को ढूंढें। उपर्युक्त ऑपरेशन में - जैसा या + या - के साथ अंतराल को हल करें और चिह्नित करें।
निचली रेखा आर [x] के भिन्नता को दर्शाती है, जो कि + और - के संकेतों के साथ होती है - प्रत्येक अंतराल में उत्पाद [आर] [x] = एफ (x) .g (x) के संयुक्त संकेत हैं। इस उदाहरण में, सभी अंतराल - नीचे की रेखा पर त्रिकोणमितीय असमानता आर (x) के समाधान के सेट होते हैं < 0 dentro do período comum. O conjunto de soluções: (Pi/3 , Pi/2) e (Pi , 3Pi/2) e (5Pi/3 , 2Pi).
1. एफ (एक्स) और जी (x) की भिन्नता का निर्धारण करने के लिए दृष्टिकोण, मूल त्रिकोणमितीय असमानताओं को हल करने के समान है, जो कि त्रिकोणमितीय इकाई वृत्त में चर चाप x के कई पदों का अध्ययन है।
ऑब्जेक्शन 2. ग्राफ विधि यह विधि रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग सीधे त्रिकोणमितीय असमानता आर [x]> 0 (या < 0). Este método, se permitido pelos professores/testes/exames é rápido, preciso e conveniente. Para saber como proceder, pesquise a internet ou livros de matemática especiais sobre trigonometria.

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