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मूल सूत्र को समझें, जिसे अक्सर व्यक्त किया जाता है z = z2 + ग. इसका मतलब यह है कि मंडलब्रॉट ब्रह्मांड में हर बिंदु के लिए हम देखना चाहते हैं, हम गणना करना जारी रखेंगे z जब तक कि दो स्थितियों में से एक नहीं होता- तब हम यह बताएंगे कि कितने गणना किए गए थे चिंता मत करो! अगले चरण में सबकुछ स्पष्ट हो जाएगा
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रूपरेखाओं के लिए 3 पेंसिल, चाबियाँ या अलग-अलग रंगों में महसूस किए गए चिह्नक, प्लस पेन्सिल या काली कलम लें। कारण है कि हम 3 रंग चाहते हैं कि हम 3 बार से अधिक 3 पुनरावृत्तियों (परतों या, दूसरे शब्दों में, सूत्र प्रति बिंदु 3 गुणा तक लागू होते हैं) के साथ पहली बार अनुमान लगाएंगे।
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काली मार्कर के साथ, पेपर के एक टुकड़े पर एक बड़े 3x3 चौराहों का आरेख बनाएं।
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लेबल (काले रंग में भी) मध्यम वर्ग (0, 0) यह स्थिर है (ग) वर्ग के केंद्र के बराबर बिंदु पर। अब मान लें कि प्रत्येक वर्ग चौड़ाई के 2 यूनिट का प्रतिनिधित्व करता है, और उसके बाद हम 2 से और 2 के मूल्यों को जोड़ देंगे या घटा देंगे एक्स और y प्रत्येक वर्ग में, साथ में एक्स पहला नंबर है और y दूसरा इसके आगे, सब कुछ दिखाई देगा जैसा आप यहां दर्शाते हैं। जब भी आप कक्षों का क्षैतिज रूप से पालन करते हैं, तो y (दूसरे नंबर) के मूल्य समान होंगे - जब भी आप इसे लंबवत करते हैं, x (प्रथम संख्या) के मान समान होंगे।
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पहली परत की गणना करें, या यात्रा, सूत्र का आप, कंप्यूटर के रूप में (वास्तव में, शब्द का मूल अर्थ "एक व्यक्ति जो गणना करता है"), यह स्वयं पर कर सकता है। चलो निम्नलिखित बयानों से शुरू करते हैं:
- प्रत्येक वर्ग में z का प्रारंभिक मान (0, 0) है जब किसी बिंदु के लिए z के पूर्ण मूल्य 2 से बड़ा या बराबर होता है, तो उस बिंदु (और उसके संबंधित वर्ग) को माना जाता है भाग निकले मंडलब्रॉट सेट का जब ऐसा होता है, तो आप उस बिंदु तक लागू सूत्र में, पुनरावृत्तियों की संख्या के अनुसार वर्ग को रंग देंगे।
- परतों 1, 2 और 3 में इस्तेमाल होने वाले रंगों को चुनें। चलो इस लेख के प्रयोजनों के लिए लाल, हरे और नीले रंग का अनुमान लगाते हैं।
- पुरानी आरेख के खेल के ऊपरी-बाएं कोने के लिए z के मान की गणना करें, z 0 + 0i, या (0, 0) का आरंभिक मान मानिए - अनुभाग देखें युक्तियाँ इन अभ्यावेदनों की बेहतर समझ के लिए यहां, हम सूत्र का उपयोग कर रहे हैं z = z2 + ग, जैसा कि पहले चरण में परिभाषित किया गया है आप जल्दी से देखेंगे, इस मामले में, z2 + ग यह बस है ग, 0 से2 0 के बराबर है। और इसका मूल्य क्या है ग इस वर्ग के लिए: (-2, 2)?
- इस बिंदु के पूर्ण मूल्य को निर्धारित करें - एक जटिल संख्या का पूर्ण मूल्य (ए, बी) का वर्गमूल है2 + ख2. अब, क्योंकि हम इसकी तुलना में ज्ञात मूल्य की तुलना करेंगे 2, हम तुलना करके वर्ग जड़ प्राप्त करने से बच सकते हैं2 + ख2 2 तक2, जो हम के बराबर होना जानते हैं 4. इस गणना में, ए = -2 और बी = 2
- [(-2)2 + 22 ]
- [4 + 4]
- 8, जो 4 से अधिक है
- यह मान पहली गणना के बाद मंडलब्रॉट सेट से बच गया, क्योंकि इसका पूर्ण मूल्य 2 से अधिक है। परत 1 के लिए चुना गया पेन्सिल के साथ रंग।
- आरेख में प्रत्येक वर्ग के लिए ऐसा करें, केंद्रीय स्क्वायर को छोड़कर, जो कि तीसरी परत (और कभी भी नहीं बच जाएगा) में स्थित मैंडेलब्रॉट से बच नहीं पाए। तो आपने केवल दो रंगों का प्रयोग किया है: प्रत्येक बाहरी वर्गों में परत 1 का प्रतिनिधित्व करने वाला और केंद्र स्क्वायर में परत 3 का प्रतिनिधित्व।
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चलो, एक चौकोर 3 गुना बड़ा, 9x9 का प्रयास करें, लेकिन अभी तक अधिकतम 3 पुनरावृत्तियों को बनाए रखना है।
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तीसरे कॉलम से ऊपर से नीचे तक प्रारंभ करें, क्योंकि उस स्थान पर जहां सब कुछ दिलचस्प होना शुरू हो जाता है- पहला तत्व, (-2, 1), 2 से बड़ा है (क्योंकि (-2)2 + 12 5 के बराबर है) और, इसलिए, हम इसे लाल रंग देंगे, क्योंकि पहले परत में मैंडेलब्रॉट के सेट से बच निकलते हैं।
- दूसरा तत्व, (-1.5, 1), 2 से अधिक नहीं साबित हुआ। सूत्र को पूर्ण मूल्य पर लागू करना, एक्स2 + y2, जहां x = -1.5 और y = 1:
- (-1.5)2 = 2.25
- 12 = 1
- 2.25 + 1 = 3.25 - 4 से कम, इसका वर्गमूल 2 से कम है
- इस प्रकार, हम दूसरी परत पर जाते हैं, जेड की गणना करते हैं2 + शॉर्टकट के साथ सी (एक्स2 - y2, 2xy) z के लिए2 - अनुभाग देखें युक्तियाँ यह जानने के लिए कि यह परिणाम कैसा होता है - जबकि अभी भी x = -1.5 और y = 1:
- (-1.5)2 - 12 2.25 - 1 बन जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 1.25
- 2xy, क्योंकि x = -1.5 और y = 1, 2 (-1.5) हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप -3.0
- यह हमें एक z देता है2 का (1,25,3)
- अब जोड़ें ग इस सेल (एक्स से एक्स और वाई को वाई जोड़ें), जिसके परिणामस्वरूप (-0.25, -2)
- आइए देखें कि अगर उसका पूर्ण मान 2 से अधिक है2 + y2:
- (-0.25)2 = 0.0625
- (-2)2 = 4
- 0.0625 + 4 = 4.0625 - इसका वर्गमूल 2 से बड़ा है और फिर दूसरी यात्रा के बाद भाग गया: हमारा पहला हरा!
- जैसा कि आप गणनाओं से परिचित हो जाते हैं, आप कभी भी यह घोषित करने में सक्षम होंगे कि कौन से संख्या देखकर मंडलब्रॉट सेट को बचता है। इस उदाहरण में, y-घटक 2 के परिमाण, जो चुकता और अन्य संख्या से अधिक 4. कोई भी संख्या बड़ा होने से कम 4 एक वर्गमूल 2. देखें से अधिक है वर्ग मूल्य में जोड़ा जा सकता है अनुभाग युक्तियाँ आगे की स्पष्टीकरण के लिए
- तीसरा तत्व, मान सी (-1, 1) के साथ, पहली परत से नहीं बच जाएगा: चूंकि दोनों 1 और -1, जब स्क्वायर किया जा रहा है, 1 के बराबर है, x2 + y2 2 के बराबर है। इस प्रकार, हम z गणना करते हैं2 + सी शॉर्टकट का उपयोग (एक्स2 - y2, 2xy) z के लिए2:
- (-1)2 - 12 1 - 1 हो जाता है, जो कि 0 के बराबर है
- 2xy तो 2 (-1) = -2 होगा
- z2 = (0, -2)
- सी जोड़ना, हमारे पास (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1) होगा
- यह अभी भी एक समान निरपेक्ष मान होगा जैसा कि पहले (2 का वर्गमूल, या लगभग 1.41), तीसरा पुनरावृत्ती के साथ जारी रहेगा:
- [(-1)2 ] - [(-1)2 ] 1 - 1 हो जाता है, जो कि 0 के बराबर होता है (फिर से)
- लेकिन अब, 2xy 2 (-1) (-1) होगा, जो कि 2 के बराबर है, एक वैल्यू z लाता है2 का (0, 2)
- सी जोड़ना, हमारे पास (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3) है, जो कि एक है2 + ख2 10 की, बहुत अधिक 4
- इसलिए, यह मान भी बच जाएगा तीसरे रंग, नीले रंग के साथ सेल को रंग दें, और अगले एक पर जाएं, एक बार जब हम उस बिंदु के साथ तीन पुनरावृत्तियों को पूरा करेंगे,
- तथ्य यह है कि हम केवल 3 रंगों का प्रयोग कर रहे हैं, एक स्पष्ट समस्या का पता चलता है, क्योंकि 3 पुनरावृत्तियों के बाद जल्द ही बच निकलने वाली वस्तुएं (0, 0) के रूप में उसी तरह रंगी जानी चाहिए, जो कभी नहीं पलायन - जाहिर है, हम अभी भी विस्तार के इस स्तर पर मंडलब्रॉट सेट में "कीड़े" नहीं देखते हैं।
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जब तक यह अधिकतम संख्या में पुनरावृत्तियों (इस रंग में उपयोग किए गए रंगों की संख्या या 3, इस उदाहरण में) तक पहुंचने तक या प्रत्येक भाग की गणना करने के लिए जारी रखें, उस बिंदु पर आप उन्हें रंग दें। और इसलिए प्रत्येक वर्ग में 3 पुनरावृत्तियों के बाद एक 9x9 मैट्रिक्स होगा ... ऐसा लगता है कि हम कहीं मिल गए हैं!
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अगले रंगों को प्रकट करने के लिए अधिक रंगों (पुनरावृत्तियों) के साथ एक ही मैट्रिक्स में एक बार पुनरावृत्त करें - या, इससे भी बेहतर, किसी दीर्घ अवधि वाली परियोजना के लिए एक बहुत बड़ी सरणी बनाएं! आपके द्वारा और सटीक चित्र होंगे:
- कोशिकाओं की संख्या में वृद्धि - पक्ष की छवि प्रति पक्ष में 81 कोशिकाओं है ऊपर 9x 9 मैट्रिक्स के समानता को नोट करें, लेकिन परिपत्र और अंडाकार प्रारूपों में बहुत नरम किनारों के साथ।
- रंग (पुनरावृत्तियों) की संख्या में वृद्धि - छवि पक्ष 3 नाम के पहले अक्षर की तुलना में प्रत्येक लाल, हरे और नीले रंग के 768 के कुल रंगों में 256 ग्रेडेशन है। ध्यान दें कि अब आप प्रसिद्ध मैंडेलब्रॉट "झील" (या "कीट, बिंदु के आधार पर") के विशिष्ट रूपों को देख सकते हैं। नकारात्मक पक्ष यह है- ऐसा करने के लिए यदि आप 10 सेकंड में प्रत्येक यात्रा की गणना कर सकते आवश्यक समय की मात्रा, यह झील मैंडलब्रॉट को सेल प्रति लगभग 2 घंटे के अंदर या अगले मतलब होगा है। यद्यपि यह 81x81 मैट्रिक्स का एक अपेक्षाकृत छोटा हिस्सा है, फिर भी इसे पूरा करने में अभी 1 साल लग सकते हैं, भले ही आप प्रत्येक दिन कई घंटों के लिए काम करें। यह वह जगह है जहां सिलिकॉन-आधारित कंप्यूटर काम में आते हैं
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